_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
73. integral cos (2 x) cos (7 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e que conteúdo vamos utilizar. A questão quer que calculemos a integral indefinida de cos(2x) cos(7x) em relação a x. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar o produto de cossenos.

Passo 2

Vamos utilizar a identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos em uma soma. A identidade é:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aqui, A = 2x e B = 7x.

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral:
cos(2x) cos(7x) = 12 [cos(2x + 7x) + cos(2x - 7x)] = 12 [cos(9x) + cos(-5x)]
Sabemos que cos(-theta) = cos(theta), então:
12 [cos(9x) + cos(5x)]

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral cos(2x) cos(7x) , dx = 12 integral [cos(9x) + cos(5x)] , dx
Isso simplifica a integral de um produto para uma soma de integrais mais simples.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos(kx) em relação a x é sin(kx)k + C, onde C é a constante de integração.
12 integral cos(9x) , dx + 12 integral cos(5x) , dx = 12 ( sin(9x)9 ) + 12 ( sin(5x)5 ) + C

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
sin(9x)18 + sin(5x)10 + C

Resposta

A integral de cos(2x) cos(7x) , dx é:
sin(9x)18 + sin(5x)10 + C

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