_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(1) integral0^raiz2 / 2-1raiz1-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício está no campo do Cálculo Integral, especificamente tratando de integrais que envolvem funções trigonométricas inversas. Para solucioná-lo, precisamos conhecer a antiderivada de , que está relacionada à função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a integral de integral 1raiz1-x^2 , dx = arcsin(x) + C . Sabemos que:
onde é a constante de integração. Isso significa que a antiderivada de é o arco seno de .

Passo 3

Na nossa integral, temos um sinal negativo na frente da fração:
integral -1raiz1-x^2 , dx
Isso implica que precisamos multiplicar a antiderivada por -arcsin(x) + C . Assim, a antiderivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de -arcsin(raiz22) - (-arcsin(0)) = -arcsin(raiz22) + arcsin(0) até . Aplicamos os limites de integração na antiderivada:

Passo 5

Conhecemos os valores das funções arco seno nesses pontos:
arcsin(raiz22) = pi4 e arcsin(0) = 0
Substituindo esses valores na expressão anterior:
-pi4 + 0 = -pi4

Resposta

O valor da integral definida é .

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