_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
49. integral 2 x-1(x-1)^3 d x

Passo 1

Então, a gente tem a integral indefinida . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração como a substituição e a divisão de frações. Vamos precisar reorganizar essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador 2x - 1(x - 1)^3 = 2(x - 1) + 1(x - 1)^3 = 2(x - 1)(x - 1)^3 + 1(x - 1)^3 pelo denominador . Para isso, reescrevemos em termos de . Observando que , podemos reescrever a fração:

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo separado:
2(x - 1)(x - 1)^3 = 2(x - 1)^2
e
1(x - 1)^3 = (x - 1)^-3
Então, a integral fica:
integral 2x - 1(x - 1)^3 , dx = integral 2(x - 1)^2 , dx + integral (x - 1)^-3 , dx

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente. Sabemos que:
integral (x - a)^n , dx = (x - a)^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Aplicando isso:
Para 2 integral (x - 1)^-2 , dx = 2 cdot (x - 1)^-1-1 = -2x - 1 :
(x - 1)^-2-2 = -12(x - 1)^2
Para :

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes integradas:
-2x - 1 - 12(x - 1)^2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 2x - 1(x - 1)^3 , dx = -2x - 1 - 12(x - 1)^2 + C

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