_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
27.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração envolvendo frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, expressamos a fração
como uma soma de frações parciais:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Lembrando que
, onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a integral:
Podemos simplificar combinando os logaritmos: