_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
27. integral d xx^2-2 x-15

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração envolvendo frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, expressamos a fração 1(x - 5)(x + 3) = Ax - 5 + Bx + 3 como uma soma de frações parciais:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(x + 3) + B(x - 5) para eliminar os denominadores:
1 = Ax + 3A + Bx - 5B
Expandindo:
1 = (A + B)x + (3A - 5B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 0 (coeficiente de x )
3A - 5B = 1 (termo constante)
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
A = -B
Substituindo na segunda equação:
3(-B) - 5B = 1
-3B - 5B = 1
-8B = 1 Rightarrow B = -18
A = -B = 18

Passo 6

Agora que temos 1(x - 5)(x + 3) = 1/8x - 5 - 1/8x + 3 e , podemos escrever:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral dxx^2 - 2x - 15 = 18 integral dxx - 5 - 18 integral dxx + 3
Lembrando que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a integral:
18 ln|x - 5| - 18 ln|x + 3| + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
18 ln|x - 5x + 3| + C

Resposta

integral dxx^2 - 2x - 15 = 18 ln|x - 5x + 3| + C

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