_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
27.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração envolvendo frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, expressamos a fração como uma soma de frações parciais:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
Lembrando que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a integral:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

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