_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
64. integral 4 x^2raiz9-x^2 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Essa questão está ligada ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar utilizar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral possui a expressão x = 3 sin theta no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais com a forma , uma boa substituição é . Aqui, , então vamos fazer:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = 3 cos theta , dtheta em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:

Passo 4

Substituímos integral 4x^2raiz9 - x^2 dx = integral 4(3 sin theta)^2raiz9 - (3 sin theta)^2 cdot 3 cos theta , dtheta e = integral 4 cdot 9 sin^2 thetaraiz9 - 9 sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = 3 cos theta
Substituindo de volta na integral:
= integral 36 sin^2 theta3 cos theta cdot 3 cos theta , dtheta = integral 36 sin^2 theta , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 . Podemos usar a identidade trigonométrica:
integral 36 sin^2 theta , dtheta = 36 cdot 12 integral (1 - cos 2theta) , dtheta = 18 integral (1 - cos 2theta) , dtheta
Então:
= 18 theta - 9 sin 2theta + C
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original theta = arcsin ( x3 ) . Lembrando que fizemos a substituição sin theta = x3 e cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz9 - x^23 , então:
sin 2theta = 2 cdot x3 cdot raiz9 - x^23 = 2x raiz9 - x^29
Para , usamos a identidade . Sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
18 theta - 9 sin 2theta + C = 18 arcsin ( x3 ) - 9 cdot 2x raiz9 - x^29 + C
Simplificando:
= 18 arcsin ( x3 ) - 2x raiz9 - x^2 + C

Resposta

integral 4x^2raiz9 - x^2 dx = 18 arcsin ( x3 ) - 2x raiz9 - x^2 + C

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