_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
64.
.
64.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Essa questão está ligada ao cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar utilizar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral possui a expressão
no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais com a forma
, uma boa substituição é
. Aqui,
, então vamos fazer:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral
. Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Para
, usamos a identidade
. Sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Resposta
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