_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
58. integral sec (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de sec(x) em relação a x. Isso faz parte do estudo de técnicas de integração no cálculo. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica específica que facilita a integração de funções trigonométricas como a secante.

Passo 2

Primeiro, lembrar que integrar sec(x) diretamente pode ser um pouco complicado. Uma boa estratégia é multiplicar e dividir a função por sec(x) + tan(x). Parece estranho, mas isso vai ajudar na simplificação.

Passo 3

Então, vamos multiplicar e dividir por sec(x) + tan(x):
integral sec(x) , dx = integral sec(x) cdot sec(x) + tan(x)sec(x) + tan(x) , dx

Passo 4

Agora, distribuímos o sec(x) no numerador:
= integral sec^2(x) + sec(x)tan(x)sec(x) + tan(x) , dx

Passo 5

Percebemos que o numerador é a derivada exata do denominador. Isso simplifica muito a integral, pois podemos usar uma substituição direta.

Passo 6

Vamos definir u = sec(x) + tan(x). A derivada de u em relação a x é:
dudx = sec(x)tan(x) + sec^2(x)

Passo 7

Com isso, o numerador sec^2(x) + sec(x)tan(x) é igual a du. A integral fica então:
integral duu = ln|u| + C

Passo 8

Finalmente, substituímos u de volta na expressão:
ln|sec(x) + tan(x)| + C

Resposta

integral sec(x) , dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

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