_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
70. integral raiz25 x^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo de integrais indefinidas usando técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm a forma . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos raiz25x^2 + 4 = raiz25x^2 + 4 = raiz25x^2 + 4 = raiz25x^2 + 4 . Note que isso se parece com a forma , que é ideal para usar a substituição trigonométrica. Nesse caso, podemos fatorar para facilitar:
Mas para facilitar, vamos pensar em como podemos usar uma substituição que nos ajude a integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos usar a substituição trigonométrica. Para integrais que contêm x = 25 tan(theta) , uma boa escolha é usar a tangente. Vamos definir:
dx = 25 sec^2(theta) , dtheta
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos integral raiz25x^2 + 4 , dx = integral raiz25(25 tan(theta))^2 + 4 cdot 25 sec^2(theta) , dtheta e 25(425 tan^2(theta)) + 4 = 4 tan^2(theta) + 4 = 4(tan^2(theta) + 1) na integral original:
raiz4 sec^2(theta) = 2 sec(theta)
Vamos simplificar dentro da raiz:
E sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 2 sec(theta) cdot 25 sec^2(theta) , dtheta = 45 integral sec^3(theta) , dtheta
Agora, precisamos resolver integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)|| + C , que é uma integral conhecida. A solução é:
45 ( 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| | ) + C = 25 sec(theta) tan(theta) + 25 ln|sec(theta) + tan(theta)| | + C
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, precisamos retornar à variável original tan(theta) = 5x2 . Lembrando que fizemos sec(theta) = raiz1 + tan^2(theta) = raiz1 + (5x2)^2 = raiz1 + 25x^24 = raiz25x^2 + 42 , então:
25 cdot raiz25x^2 + 42 cdot 5x2 + 25 ln|raiz25x^2 + 42 + 5x2| + C
E, pelo triângulo retângulo:
raiz25x^2 + 4 cdot x2 + 25 ln|raiz25x^2 + 4 + 5x| + C
A substituição resulta em:
Simplificando:

Resposta

A integral x2 raiz25x^2 + 4 + 25 ln| raiz25x^2 + 4 + 5x | + C é igual a:

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