_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
70.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo de integrais indefinidas usando técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm a forma . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos . Note que isso se parece com a forma , que é ideal para usar a substituição trigonométrica. Nesse caso, podemos fatorar para facilitar:
Mas para facilitar, vamos pensar em como podemos usar uma substituição que nos ajude a integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos usar a substituição trigonométrica. Para integrais que contêm , uma boa escolha é usar a tangente. Vamos definir:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Vamos simplificar dentro da raiz:
E sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Agora, precisamos resolver , que é uma integral conhecida. A solução é:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, precisamos retornar à variável original . Lembrando que fizemos , então:
E, pelo triângulo retângulo:
A substituição resulta em:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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