_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. Isso está dentro do tópico de Cálculo de Integrais e envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções seno e aplicar algumas propriedades básicas das integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função
. A antiderivada de
, onde
é uma constante, é dada por:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa função, onde
, temos:
Essa é a antiderivada de
.
Passo 4
Agora, como a questão pede uma integral definida, ou seja, precisamos calcular o valor dessa antiderivada nos limites de integração, que são de
até
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
onde
é a antiderivada de
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa integral, ficamos com:
Passo 6
Sabemos que o cosseno de
e de
é igual a 1, ou seja,
. Substituindo esses valores na expressão, temos:
Resposta
A integral definida de
de
até
é 0.
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(g)
(g)
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obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
(a) e
.
(a)