_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(d) integral-pi^pi sin (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de sin(2x) de -pi até pi. Isso está dentro do tópico de Cálculo de Integrais e envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções seno e aplicar algumas propriedades básicas das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função sin(2x). A antiderivada de sin(kx), onde k é uma constante, é dada por:
integral sin(kx) dx = -1k cos(kx) + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa função, onde k = 2, temos:
integral sin(2x) dx = -12 cos(2x) + C
Essa é a antiderivada de sin(2x).

Passo 4

Agora, como a questão pede uma integral definida, ou seja, precisamos calcular o valor dessa antiderivada nos limites de integração, que são de -pi até pi. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
integrala^b f(x) dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x).

Passo 5

Aplicando isso à nossa integral, ficamos com:
integral-pi^pi sin(2x) dx = [ -12 cos(2x) ]-pi^pi = -12 cos(2pi) + 12 cos(-2pi)

Passo 6

Sabemos que o cosseno de 2pi e de -2pi é igual a 1, ou seja, cos(2pi) = cos(-2pi) = 1. Substituindo esses valores na expressão, temos:
-12 times 1 + 12 times 1 = -12 + 12 = 0

Resposta

A integral definida de sin(2x) de -pi até pi é 0.

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