Questão. Assuma que, em t=0, a função de onda de uma partícula na caixa 1D é uma superposição de dois estados: Psi=an psin+am psim.
a) Como será a expressão da função de onda, Psi(x, t), no tempo t ? Qual será o valor esperado da energia no tempo t e como esse valor se relaciona com o esperado para t=0 ?
b) Em medidas experimentais capazes de distinguir entre os estados psin e psim, qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado psin ?
c) Que energias podem ser encontradas e com quais probabilidades?
d) Para sistemas originalmente no estado Psi=an psin+am psim e que foram observados como psin no tempo t , em qual estado deverão ser encontrado a partir de outra medida em tempo t^prime(t^prime>t) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a função de onda de uma partícula em uma caixa unidimensional. No tempo inicial, , a função de onda é uma combinação de dois estados diferentes: . A gente vai precisar usar conceitos de superposição de estados, evolução temporal de funções de onda e cálculo de probabilidades em mecânica quântica para resolver as partes a) até d) desse exercício.

Passo 2

Parte a)
Primeiro, queremos descobrir como a função de onda psin(x, t) = psin(x) , e^-i En t / hbar evolui com o tempo e qual é o valor esperado da energia nesse tempo Psi(x, t) = an psin(x) e^-i En t / hbar + am psim(x) e^-i Em t / hbar , comparando com o valor inicial lang<= E rang<= = |an|^2 En + |am|^2 Em .
A função de onda de um estado estacionário em uma caixa unidimensional evolui no tempo segundo:
Onde é a energia do estado e é a constante de Planck reduzida.
Como temos uma superposição de dois estados, a função de onda no tempo será:
Sobre o valor esperado da energia , ele é calculado pela soma das energias dos estados, ponderadas pelos módulos ao quadrado dos coeficientes:
Esse valor não depende do tempo, ou seja, é o mesmo para e para .

Passo 3

Parte b)
Aqui, queremos saber a probabilidade de, em uma medida, o sistema estar no estado Pn = |an|^2 .
Em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente desse estado na função de onda.
Então, a probabilidade de encontrar o sistema no estado é:

Passo 4

Parte c)
Nesta parte, precisamos identificar quais energias podem ser encontradas e com que probabilidades.
Como a função de onda é uma superposição de Pn = |an|^2 e Pm = |am|^2 e , as únicas energias possíveis que podem ser medidas são e .
As probabilidades associadas a cada energia são, respectivamente:

Passo 5

Parte d)
Agora, suponha que o sistema estava inicialmente na superposição Psi(x, t') = psin(x) e^-i En t' / hbar e foi observado no estado no tempo . Queremos saber em qual estado ele estará em uma nova medida no tempo .
Após a medição, o estado do sistema “colapsa” para o estado observado, que nesse caso é .
Então, para uma nova medida em , o sistema estará no estado . Como é um estado estacionário, ele permanecerá nesse estado para qualquer tempo posterior, ou seja:
Isso significa que qualquer nova medida após sempre encontrará o sistema no estado com certeza.

Resposta

a) A função de onda no tempo será . O valor esperado da energia em é e é igual ao valor esperado em .
b) A probabilidade de encontrar o sistema no estado é .
c) As energias que podem ser encontradas são com probabilidade e com probabilidade .
d) Após ser observado no estado no tempo , em uma nova medida no tempo , o sistema será encontrado novamente no estado .

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