Questão. Assuma que, em
, a função de onda de uma partícula na caixa 1D é uma superposição de dois estados:
.
a) Como será a expressão da função de onda,
, no tempo
? Qual será o valor esperado da energia no tempo t e como esse valor se relaciona com o esperado para
?
b) Em medidas experimentais capazes de distinguir entre os estados
e
, qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado
?
c) Que energias podem ser encontradas e com quais probabilidades?
d) Para sistemas originalmente no estado
e que foram observados como
no tempo t , em qual estado deverão ser encontrado a partir de outra medida em tempo
?
a) Como será a expressão da função de onda,
b) Em medidas experimentais capazes de distinguir entre os estados
c) Que energias podem ser encontradas e com quais probabilidades?
d) Para sistemas originalmente no estado
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a função de onda de uma partícula em uma caixa unidimensional. No tempo inicial,
, a função de onda é uma combinação de dois estados diferentes:
. A gente vai precisar usar conceitos de superposição de estados, evolução temporal de funções de onda e cálculo de probabilidades em mecânica quântica para resolver as partes a) até d) desse exercício.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, queremos descobrir como a função de onda
evolui com o tempo e qual é o valor esperado da energia nesse tempo
, comparando com o valor inicial
.
A função de onda de um estado estacionário em uma caixa unidimensional evolui no tempo segundo:
Onde
é a energia do estado
e
é a constante de Planck reduzida.
Como temos uma superposição de dois estados, a função de onda no tempo
será:
Sobre o valor esperado da energia
, ele é calculado pela soma das energias dos estados, ponderadas pelos módulos ao quadrado dos coeficientes:
Esse valor não depende do tempo, ou seja, é o mesmo para
e para
.
Passo 3
Parte b)
Aqui, queremos saber a probabilidade de, em uma medida, o sistema estar no estado
.
Em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente desse estado na função de onda.
Então, a probabilidade
de encontrar o sistema no estado
é:
Passo 4
Parte c)
Nesta parte, precisamos identificar quais energias podem ser encontradas e com que probabilidades.
Como a função de onda é uma superposição de
e
, as únicas energias possíveis que podem ser medidas são
e
.
As probabilidades associadas a cada energia são, respectivamente:
Passo 5
Parte d)
Agora, suponha que o sistema estava inicialmente na superposição
e foi observado no estado
no tempo
. Queremos saber em qual estado ele estará em uma nova medida no tempo
.
Após a medição, o estado do sistema “colapsa” para o estado observado, que nesse caso é
.
Então, para uma nova medida em
, o sistema estará no estado
. Como é um estado estacionário, ele permanecerá nesse estado para qualquer tempo posterior, ou seja:
Isso significa que qualquer nova medida após
sempre encontrará o sistema no estado
com certeza.
Resposta
a) A função de onda no tempo
será
. O valor esperado da energia em
é
e é igual ao valor esperado em
.
b) A probabilidade de encontrar o sistema no estado
é
.
c) As energias que podem ser encontradas são
com probabilidade
e
com probabilidade
.
d) Após ser observado no estado
no tempo
, em uma nova medida no tempo
, o sistema será encontrado novamente no estado
.