(a) Determine as raízes em Z_5 do polinômio p(x) = x^504 + 4 x^415 + 2 x^212 + 2 x^31 + 1 in Z_5[x].
Sugestão: Aplique o Teorema de Fermat ( Seja p um número primo, então a^(p-1) ≡ 1( mód p∀ a ∈ Z, tal que p não divide a )
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes do polinômio no conjunto , que é o conjunto dos números de 0 a 4 com operações feitas módulo 5. Para isso, vamos usar o Teorema de Fermat, que basicamente nos ajuda a simplificar potências de números em módulos primos. Vamos precisar verificar para quais valores de entre 0 e 4 o polinômio resulta em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Fermat: se é um número primo e é um número que não é múltiplo de , então . No nosso caso, , então para qualquer em que não seja 0, temos .
Passo 3
Vamos simplificar os expoentes das potências de no polinômio usando o Teorema de Fermat. Como para , podemos reduzir os expoentes:
com resto 0, então .
com resto 3, então .
com resto 0, então .
com resto 3, então .
Substituindo essas simplificações no polinômio, temos:
Passo 4
Vamos combinar os termos semelhantes:
Somando os coeficientes:
Os termos constantes: .
Os termos com : . Mas , então fica .
Portanto, o polinômio simplificado é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de em (ou seja, ) que satisfazem . Vamos testar cada valor: