Seja V=F^2. Se u=(x1, x2) in V e v=(y1, y2) in V, então V munido com as operações de adição u oplus v=(x1-y1, x2-y2) e multiplicação por escalar a odot u=(-a x1,-a x2) é um espaço vetorial sobre F?

Passo 1

Então, galera, temos um espaço V que é o conjunto de todos os pares ordenados de F, ou seja, V = F². A gente precisa verificar se, com as operações de adição definidas como u ⊕ v = (x₁ - y₁, x₂ - y₂) e multiplicação por escalar como a ⊙ u = (-a x₁, -a x₂), esse V realmente forma um espaço vetorial sobre o campo F. Para isso, vamos precisar analisar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que precisam ser verificadas para confirmar que V é um espaço vetorial. São elas:
  1. Fechamento da Adição: A soma de dois vetores em V deve resultar em outro vetor em V.
  2. Comutatividade da Adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da Adição: A maneira como agrupamos os vetores na soma não muda o resultado.
  4. Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor em V que, somado a qualquer vetor, não altera o vetor original.
  5. Existência do Inverso Aditivo: Para cada vetor em V, deve existir outro vetor que somado a ele resulta no elemento neutro.
  6. Fechamento da Multiplicação por Escalar: O produto de um escalar e um vetor em V deve resultar em outro vetor em V.
  7. Distributividade do Escalar sobre a Adição de Vetores: O escalar distribuído sobre a soma de dois vetores deve ser igual à soma dos produtos escalares de cada vetor.
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares: A soma de dois escalares multiplicada por um vetor deve ser igual à soma dos produtos dos escalares com o vetor.
  9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares: Multiplicação de escalares associada deve ser compatível com a multiplicação por escalares nos vetores.
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: Multiplicar qualquer vetor por 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades com as operações dadas.

Passo 3

1. Fechamento da Adição
Temos dois vetores u = (x₁, x₂) e v = (y₁, y₂) em V. A soma deles é definida como:
u oplus v = (x₁ - y₁, x₂ - y₂)
Como a subtração de dois elementos de F ainda resulta em um elemento de F, o resultado est�� em V. Portanto, a adição está fechada em V.

Passo 4

2. Comutatividade da Adição
Vamos verificar se u oplus v = (x₁ - y₁, x₂ - y₂) .
v oplus u = (y₁ - x₁, y₂ - x₂) = -(x₁ - y₁, x₂ - y₂)
A menos que e , . Portanto, a adição não é comutativa com as operações definidas.

Passo 5

3. Associatividade da Adição
Mesmo que a comutatividade já falhe, vamos verificar a associatividade para entender melhor.
Sejam (u oplus v) oplus w = ((x₁ - y₁, x₂ - y₂)) oplus w = ((x₁ - y₁) - z₁, (x₂ - y₂) - z₂) , u oplus (v oplus w) = u oplus (y₁ - z₁, y₂ - z₂) = (x₁ - (y₁ - z₁), x₂ - (y₂ - z₂)) = (x₁ - y₁ + z₁, x₂ - y₂ + z₂) e (x₁ - y₁ - z₁, x₂ - y₂ - z₂) neq (x₁ - y₁ + z₁, x₂ - y₂ + z₂) , então:
Comparando os dois resultados:
Portanto, a adição não é associativa com as operações definidas.

Passo 6

4. Existência do Elemento Neutro
O elemento neutro u oplus 0 = (x₁ - a, x₂ - b) = (x₁, x₂) deve satisfazer x₁ - a = x₁ Rightarrow a = 0 .
Vamos encontrar x₂ - b = x₂ Rightarrow b = 0 tal que:
u oplus 0 = (x₁ - 0, x₂ - 0) = (x₁, x₂) = u
Isso implica que:
Então, o elemento neutro seria .
Verificando:
Portanto, existe o elemento neutro .

Passo 7

5. Existência do Inverso Aditivo
Para cada u oplus (-u) = 0 , deve existir (x₁ - a, x₂ - b) = (0, 0) tal que:
x₁ - a = 0 Rightarrow a = x₁
Ou seja:
x₂ - b = 0 Rightarrow b = x₂
Então:
u oplus (-u) = (x₁ - x₁, x₂ - x₂) = (0, 0) = 0
Portanto, o inverso aditivo seria .
Verificando:
Assim, para cada vetor, existe um inverso aditivo.

Passo 8

6. Fechamento da Multiplicação por Escalar
Seja a odot u = (-a x₁, -a x₂) e , então:
Como e estão em F, e multiplicando por -1 também está em F, o resultado está em V. Portanto, a multiplicação por escalar está fechada em V.

Passo 9

7. Distributividade do Escalar sobre a Adição de Vetores
Precisamos verificar se:
a odot (u oplus v) = a odot u oplus a odot v
Vamos calcular cada lado.
Primeiro, a odot (u oplus v) = a odot (x₁ - y₁, x₂ - y₂) = (-a(x₁ - y₁), -a(x₂ - y₂)) = (-a x₁ + a y₁, -a x₂ + a y₂) .
Então:
a odot u = (-a x₁, -a x₂)
Agora, a odot v = (-a y₁, -a y₂)
a odot u oplus a odot v = (-a x₁ - (-a y₁), -a x₂ - (-a y₂)) = (-a x₁ + a y₁, -a x₂ + a y₂)
a odot (u oplus v) = a odot u oplus a odot v
Como ambos os lados são iguais:
A distributividade é satisfeita.

Passo 10

8. Distributividade da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares
Precisamos verificar se:
(a + b) odot u = a odot u oplus b odot u
Calculando cada lado.
Primeiro, (a + b) odot u = (-(a + b) x₁, -(a + b) x₂) = (-a x₁ - b x₁, -a x₂ - b x₂)
Agora, a odot u = (-a x₁, -a x₂)
b odot u = (-b x₁, -b x��)
a odot u oplus b odot u = (-a x₁ - (-b x₁), -a x₂ - (-b x₂)) = (-a x₁ + b x₁, -a x₂ + b x₂)
Comparando:
(-a x₁ - b x₁, -a x₂ - b x₂) neq (-a x₁ + b x₁, -a x₂ + b x₂)
A menos que , os lados não são iguais. Portanto, a distributividade não é satisfeita.

Passo 11

9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Precisamos verificar se:
a odot (b odot u) = (a b) odot u
Calculando cada lado.
Primeiro, b odot u = (-b x₁, -b x₂)
Então,
a odot (b odot u) = a odot (-b x₁, -b x₂) = (-a(-b x₁), -a(-b x₂)) = (a b x₁, a b x₂)
Agora, (a b) odot u = (-(a b) x₁, -(a b) x₂) = (-a b x₁, -a b x₂)
Claramente:
(a b x₁, a b x₂) neq (-a b x₁, -a b x₂)
Portanto, a compatibilidade da multiplicação de escalares não é satisfeita.

Passo 12

10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
O elemento neutro é o escalar 1, então precisamos verificar se:
1 odot u = u
Calculando:
1 odot u = (-1 cdot x₁, -1 cdot x₂) = (-x���, -x₂)
Para que , precisaríamos que , o que só ocorre se . Portanto, o elemento neutro não é satisfatório para todos os vetores em V.

Resposta

Não, com as operações definidas, V não é um espaço vetorial sobre F, pois as propriedades de comutatividade, associatividade, distributividade e compatibilidade da multiplicação por escalar não são todas satisfeitas.

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