Seja . Se e , então munido com as operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre ?

Passo 1

Então, galera, temos um espaço V que é o conjunto de todos os pares ordenados de F, ou seja, V = F². A gente precisa verificar se, com as operações de adição definidas como u ⊕ v = (x₁ - y₁, x₂ - y₂) e multiplicação por escalar como a ⊙ u = (-a x₁, -a x₂), esse V realmente forma um espaço vetorial sobre o campo F. Para isso, vamos precisar analisar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que precisam ser verificadas para confirmar que V é um espaço vetorial. São elas:
  1. Fechamento da Adição: A soma de dois vetores em V deve resultar em outro vetor em V.
  2. Comutatividade da Adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da Adição: A maneira como agrupamos os vetores na soma não muda o resultado.
  4. Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor em V que, somado a qualquer vetor, não altera o vetor original.
  5. Existência do Inverso Aditivo: Para cada vetor em V, deve existir outro vetor que somado a ele resulta no elemento neutro.
  6. Fechamento da Multiplicação por Escalar: O produto de um escalar e um vetor em V deve resultar em outro vetor em V.
  7. Distributividade do Escalar sobre a Adição de Vetores: O escalar distribuído sobre a soma de dois vetores deve ser igual à soma dos produtos escalares de cada vetor.
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares: A soma de dois escalares multiplicada por um vetor deve ser igual à soma dos produtos dos escalares com o vetor.
  9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares: Multiplicação de escalares associada deve ser compatível com a multiplicação por escalares nos vetores.
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: Multiplicar qualquer vetor por 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades com as operações dadas.

Passo 3

1. Fechamento da Adição
Temos dois vetores u = (x₁, x₂) e v = (y₁, y₂) em V. A soma deles é definida como:
Como a subtração de dois elementos de F ainda resulta em um elemento de F, o resultado est�� em V. Portanto, a adição está fechada em V.

Passo 4

2. Comutatividade da Adição
Vamos verificar se .
A menos que e , . Portanto, a adição não é comutativa com as operações definidas.

Passo 5

3. Associatividade da Adição
Mesmo que a comutatividade já falhe, vamos verificar a associatividade para entender melhor.
Sejam , e , então:
Comparando os dois resultados:
Portanto, a adição não é associativa com as operações definidas.

Passo 6

4. Existência do Elemento Neutro
O elemento neutro deve satisfazer .
Vamos encontrar tal que:
Isso implica que:
Então, o elemento neutro seria .
Verificando:
Portanto, existe o elemento neutro .

Passo 7

5. Existência do Inverso Aditivo
Para cada , deve existir tal que:
Ou seja:
Então:
Portanto, o inverso aditivo seria .
Verificando:
Assim, para cada vetor, existe um inverso aditivo.

Passo 8

6. Fechamento da Multiplicação por Escalar
Seja e , então:
Como e estão em F, e multiplicando por -1 também está em F, o resultado está em V. Portanto, a multiplicação por escalar está fechada em V.

Passo 9

7. Distributividade do Escalar sobre a Adição de Vetores
Precisamos verificar se:
Vamos calcular cada lado.
Primeiro, .
Então:
Agora,
Como ambos os lados são iguais:
A distributividade é satisfeita.

Passo 10

8. Distributividade da Multiplicação por Escalar sobre a Adição de Escalares
Precisamos verificar se:
Calculando cada lado.
Primeiro,
Agora,
Comparando:
A menos que , os lados não são iguais. Portanto, a distributividade não é satisfeita.

Passo 11

9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Precisamos verificar se:
Calculando cada lado.
Primeiro,
Então,
Agora,
Claramente:
Portanto, a compatibilidade da multiplicação de escalares não é satisfeita.

Passo 12

10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
O elemento neutro é o escalar 1, então precisamos verificar se:
Calculando:
Para que , precisaríamos que , o que só ocorre se . Portanto, o elemento neutro não é satisfatório para todos os vetores em V.

Resposta

Não, com as operações definidas, V não é um espaço vetorial sobre F, pois as propriedades de comutatividade, associatividade, distributividade e compatibilidade da multiplicação por escalar não são todas satisfeitas.

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