Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
d) x^2+y^2-4 x+6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pegar a equação dada, colocá-la na forma padrão e descobrir se ela representa uma circunferência. Se for uma circunferência, também precisamos encontrar o centro e o raio dela. A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, especificamente sobre circonferências. Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis e da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0
A ideia é reorganizar essa equação para que fique na forma padrão de uma circunferência, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde é o centro e é o raio da circunferência.

Passo 3

Vamos começar agrupando os termos de x^2 - 4x + y^2 + 6y = 0 e os termos de :
Agora, vamos completar o quadrado para as duas variáveis.

Passo 4

Para completar o quadrado em x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 + 6y = 0 :
  1. Pegue o coeficiente de x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 + 6y + 9 - 9 = 0 , que é , e divida por 2: .
  2. Eleve ao quadrado: .
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:
Fazendo o mesmo para :
  1. Pegue o coeficiente de , que é , e divida por 2: .
  2. Eleve ao quadrado: .
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a equação agrupando os termos completados:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 = 0
Isso simplifica para:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 0

Passo 6

Vamos isolar os termos quadráticos:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da circunferência.

Resposta

Sim, a equação representa uma circunferência. O centro da circunferência é e o raio é .

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