Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pegar a equação dada, colocá-la na forma padrão e descobrir se ela representa uma circunferência. Se for uma circunferência, também precisamos encontrar o centro e o raio dela. A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, especificamente sobre circonferências. Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis
e
da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
A ideia é reorganizar essa equação para que fique na forma padrão de uma circunferência, que é:
Onde
é o centro e
é o raio da circunferência.
Passo 3
Vamos começar agrupando os termos de
e os termos de
:
Agora, vamos completar o quadrado para as duas variáveis.
Passo 4
Para completar o quadrado em
:
- Pegue o coeficiente de
, que é , e divida por 2: . - Eleve ao quadrado:
. - Adicione e subtraia esse valor na equação:
Fazendo o mesmo para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é , e divida por 2: . - Eleve ao quadrado:
. - Adicione e subtraia esse valor na equação:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a equação agrupando os termos completados:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos isolar os termos quadráticos:
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da circunferência.
Resposta
Sim, a equação representa uma circunferência. O centro da circunferência é
e o raio é
.