Questão 7. (2,0) Em um escoamento bidimensional, a velocidade em um
because ponto é descrita por: [V(x, y)=(2 x, 3 y)].
a) Determine a taxa de deformação angular nesse ponto.
b) O escoamento é considerado puro cisalhamento? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre escoamento bidimensional, onde a velocidade no ponto (x, y) é dada por V(x, y) = (2x, 3y). A primeira parte pede para determinar a taxa de deformação angular nesse ponto, e a segunda quer saber se esse escoamento é considerado puro cisalhamento. Vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especialmente análise de tensores de deformação, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a taxa de deformação angular. Essa taxa está relacionada à rotação das partículas do fluido sem deformação. Para calcular isso, vamos usar o tensor de velocidade e decompor em partes simétricas e antissimétricas. A parte antissimétrica está ligada à rotação.

Passo 3

Vamos calcular o tensor de velocidade, que é composto pelas derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais. Ou seja,
V = partial Vxpartial x & partial Vxpartial y partial Vypartial x & partial Vypartial y
Dado que V(x, y) = (2x, 3y), as derivadas são:
partial Vxpartial x = 2, partial Vxpartial y = 0
partial Vypartial x = 0, partial Vypartial y = 3
Então,
V = 2 & 0 0 & 3

Passo 4

Agora, vamos separar o tensor de velocidade em partes simétrica ( S) e antissimétrica ( Omega):
S = 12(V + V^T)
Omega = 12(V - V^T)
Calculando:
S = 12 2+2 & 0+0 0+0 & 3+3 = 2 & 0 0 & 3
Omega = 12 2-2 & 0-0 0-0 & 3-3 = 0 & 0 0 & 0

Passo 5

A taxa de deformação angular está relacionada ao tensor antissimétrico Omega. A magnitude da rotação é dada por:
omega = raiz Omega12^2 + Omega21^2 = raiz0^2 + 0^2 = 0

Passo 6

Como a taxa de deformação angular omega é zero, isso significa que não há rotação das partículas do fluido nesse ponto.

Passo 7

Agora, para verificar se o escoamento é puro cisalhamento, lembramos que em um escoamento puro cisalhamento, a taxa de deformação angular é zero e existe apenas deformação sem rotação. Como encontramos omega = 0 e o tensor de deformação S não é nulo, o escoamento atende aos critérios de puro cisalhamento.

Resposta

a) A taxa de deformação angular nesse ponto é zero.
b) Sim, o escoamento é considerado puro cisalhamento porque não há rotação das partículas (taxa de deformação angular igual a zero) e existe apenas deformação.

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