Questão 8. (2,0) Considere um escoamento bidimensional descrito pelo seguinte campo de velocidade:
V(x, y)=(u(x, y), v(x, y))=(3 x+2 y,-x+4 y)
Com base neste campoo de velocidade, responda às seguintes questões:
(b) Determine as componentes de translação do escoamento.
(b) Encontre vorticidade do escoamento e verifique se há rotação.
(d) Calcule a taxa de deformação ção linear ao longo dos eixos x e y.
Boa Avaliação

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um escoamento bidimensional descrito pelo campo de velocidade . Nosso objetivo é:
  1. Determinar as componentes de translação do escoamento.
  2. Encontrar a vorticidade do escoamento e verificar se há rotação.
  3. Calcular a taxa de deformação linear ao longo dos eixos e .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos como campo de velocidade, vorticidade e tensor de deformação. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

(b) Determinar as componentes de translação do escoamento.
Primeiro, vamos entender o que são as componentes de translação. Em um campo de velocidade, a translação se refere ao movimento uniforme do fluido, ou seja, se todas as partículas estão se movendo na mesma direção e com a mesma velocidade.
Olhando para o campo de velocidade:
u(x, y) = 3x + 2y
v(x, y) = -x + 4y
Repare que não há termos constantes, apenas termos que dependem de e . Isso indica que não há uma translação pura; o movimento depende das posições e . Portanto, as componentes de translação são zero.

Passo 3

(b) Encontrar a vorticidade do escoamento e verificar se há rotação.
A vorticidade é uma medida da tendência das partículas do fluido em girar em torno de um ponto. Para um escoamento bidimensional, a vorticidade omega = partial vpartial x - partial upartial y é calculada pela diferença das derivadas parciais das componentes da velocidade:
v(x, y) = -x + 4y Rightarrow partial vpartial x = -1
Vamos calcular cada derivada:
Primeira, u(x, y) = 3x + 2y Rightarrow partial upartial y = 2 :
omega = (-1) - (2) = -3
Segunda, :
Agora, substituindo na fórmula da vorticidade:
Como a vorticidade , isso indica que há rotação no escoamento.

Passo 4

(d) Calcular a taxa de deformação linear ao longo dos eixos epsilon = partial upartial x & 12(partial upartial y + partial vpartial x) 12(partial upartial y + partial vpartial x) & partial vpartial y e u(x, y) = 3x + 2y Rightarrow partial upartial x = 3 .
A taxa de deformação linear descreve como o fluido está se esticando ou comprimindo nas direções partial upartial y = 2 e v(x, y) = -x + 4y Rightarrow partial vpartial x = -1 . Para um escoamento bidimensional, a taxa de deformação partial vpartial y = 4 pode ser representada pelo tensor de deformação:
epsilon = 3 & 12(2 + (-1)) 12(2 + (-1)) & 4 = 3 & 12(1) 12(1) & 4 = 3 & 0.5 0.5 & 4
Vamos calcular cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
Agora, substituindo na matriz de deformação:
Portanto, a taxa de deformação linear ao longo dos eixos e são 3 e 4, respectivamente, com uma taxa de cisalhamento de 0.5.

Resposta

As componentes de translação do escoamento são zero. A vorticidade do escoamento é , indicando que há rotação. A taxa de deformação linear ao longo dos eixos e são, respectivamente, 3 e 4, com uma taxa de cisalhamento de 0.5.

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