Como varia, ponto a ponto, a pressão numa certa quantidade de fluido, quando ? Desenvolva uma expressão de como a pressão em um fluido, sem que haja tensão de cisalhamento, varia de um ponto a outro em um fluido. Para responder essa questão, considere um elemento de fluido que apenas forças de contato e de campo atuem sobre o mesmo.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre como a pressão varia em um fluido quando não tem tensão de cisalhamento, ou seja, quando . Isso faz parte do estudo da estática dos fluidos. Vamos precisar entender como a pressão muda de um ponto para outro dentro do fluido quando só temos forças normais agindo, como a pressão e a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um pedacinho de fluido, um elemento, que está parado. Nesse elemento, as únicas forças que atuam são as forças de contato (como a pressão do fluido) e as forças de campo (como a força da gravidade).

Passo 3

Como não tem tensão de cisalhamento ( ), a pressão no fluido só varia na direção da força da gravidade. Isso significa que a pressão depende da profundidade no fluido.

Passo 4

Vamos analisar as forças. A força para baixo é a força da gravidade, que é dada por , onde é a densidade do fluido, é a aceleração da gravidade, e é a mudança de altura.

Passo 5

A força da pressão que atua na direção oposta é a diferença de pressão entre dois pontos, . Para o equilíbrio das forças, essas duas devem se igualar:

Passo 6

Isso nos dá a relação de como a pressão varia com a profundidade. Integrando a diferença de pressão, a expressão geral para a variação da pressão em um fluido estático é:
onde é a pressão na superfície do fluido e é a profundidade abaixo da superfície.

Resposta

A pressão em um fluido sem tensão de cisalhamento varia com a profundidade segundo a expressão , onde é a pressão na superfície, é a densidade do fluido e é a aceleração da gravidade.

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