Como varia, ponto a ponto, a pressão numa certa quantidade de fluido, quando
? Desenvolva uma expressão de como a pressão em um fluido, sem que haja tensão de cisalhamento, varia de um ponto a outro em um fluido. Para responder essa questão, considere um elemento de fluido que apenas forças de contato e de campo atuem sobre o mesmo.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre como a pressão varia em um fluido quando não tem tensão de cisalhamento, ou seja, quando
. Isso faz parte do estudo da estática dos fluidos. Vamos precisar entender como a pressão muda de um ponto para outro dentro do fluido quando só temos forças normais agindo, como a pressão e a força da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um pedacinho de fluido, um elemento, que está parado. Nesse elemento, as únicas forças que atuam são as forças de contato (como a pressão do fluido) e as forças de campo (como a força da gravidade).
Passo 3
Como não tem tensão de cisalhamento (
), a pressão no fluido só varia na direção da força da gravidade. Isso significa que a pressão depende da profundidade no fluido.
Passo 4
Vamos analisar as forças. A força para baixo é a força da gravidade, que é dada por
, onde
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade, e
é a mudança de altura.
Passo 5
A força da pressão que atua na direção oposta é a diferença de pressão entre dois pontos,
. Para o equilíbrio das forças, essas duas devem se igualar:
Passo 6
Isso nos dá a relação de como a pressão varia com a profundidade. Integrando a diferença de pressão, a expressão geral para a variação da pressão em um fluido estático é:
onde
é a pressão na superfície do fluido e
é a profundidade abaixo da superfície.
Resposta
A pressão em um fluido sem tensão de cisalhamento varia com a profundidade
segundo a expressão
, onde
é a pressão na superfície,
é a densidade do fluido e
é a aceleração da gravidade.