Questão 5. A Figura 5 mostra a vista de topo da roda de um giroscópio cilíndrico. O pivô está no ponto O, e a massa do eixo é desprezível. (b) Se o giroscópio leva para uma revolução de precessão, qual deve ser a velocidade angular da roda?
(a) Vista do topo
(b) Diagrama
Ferea do peso apontando para oimersor da página. giroscópio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a velocidade angular da roda de um giroscópio cilíndrico. Sabemos que o giroscópio leva 4,0 segundos para completar uma revolução de precessão. Vamos precisar entender os conceitos de precessão e velocidade angular, além de usar algumas fórmulas da dinâmica rotacional para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é precessão. Quando um giroscópio gira, ele não apenas gira em torno do seu próprio eixo, mas também o eixo como um todo pode descrever um movimento circular. Esse movimento adicional é chamado de precessão.
A velocidade angular da precessão () está relacionada ao tempo que o giroscópio leva para dar uma volta completa nesse movimento de precessão. Como a questão nos dá o tempo para uma revolução de precessão, podemos calcular .
Passo 3
A velocidade angular () está relacionada ao tempo () que leva para completar uma revolução pela fórmula:
Onde:
é a velocidade angular em rad/s,
é o período em segundos,
é aproximadamente 3,1416.
Passo 4
Na questão, o período de precessão é de 4,0 segundos. Então, a velocidade angular da precessão () é:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar a velocidade angular da roda () com a velocidade angular da precessão (). A relação entre elas envolve o momento de inércia () da roda e o torque () aplicado.
A fórmula que relaciona esses valores é:
Onde:
é o torque,
é o momento de inércia,
é a velocidade angular da precessão.
Passo 6
O momento de inércia () de um cilindro em relação ao seu eixo é dado por:
Onde:
é a massa da roda,
é o raio da roda.
Passo 7
Assumindo que o giroscópio está em equilíbrio, o torque () devido ao peso () age a uma distância do pivô. Então:
Passo 8
Substituindo e na equação :
Passo 9
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Passo 10
Isolando para encontrar a velocidade angular da roda ():
Resposta
A velocidade angular da roda do giroscópio é dada por , onde é a aceleração da gravidade e é o raio da roda.