Questão 5. A Figura 5 mostra a vista de topo da roda de um giroscópio cilíndrico. O pivô está no ponto O, e a massa do eixo é desprezível. (b) Se o giroscópio leva 4,0 s para uma revolução de precessão, qual deve ser a velocidade angular da roda?
(a) Vista do topo
(b) Diagrama
harpoonup L+De
Ferea do peso apontando para oimersor da página. giroscópio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a velocidade angular da roda de um giroscópio cilíndrico. Sabemos que o giroscópio leva 4,0 segundos para completar uma revolução de precessão. Vamos precisar entender os conceitos de precessão e velocidade angular, além de usar algumas fórmulas da dinâmica rotacional para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é precessão. Quando um giroscópio gira, ele não apenas gira em torno do seu próprio eixo, mas também o eixo como um todo pode descrever um movimento circular. Esse movimento adicional é chamado de precessão.
A velocidade angular da precessão ( ) está relacionada ao tempo que o giroscópio leva para dar uma volta completa nesse movimento de precessão. Como a questão nos dá o tempo para uma revolução de precessão, podemos calcular .

Passo 3

A velocidade angular ( omega = 2piT ) está relacionada ao tempo ( ) que leva para completar uma revolução pela fórmula:
Onde:
  • é a velocidade angular em rad/s,
  • é o período em segundos,
  • é aproximadamente 3,1416.

Passo 4

Na questão, o período de precessão omegap = 2piTp = 2pi4,0, s = pi2, rad/s é de 4,0 segundos. Então, a velocidade angular da precessão ( ) é:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a velocidade angular da roda ( tau = I cdot omegap ) com a velocidade angular da precessão ( ). A relação entre elas envolve o momento de inércia ( ) da roda e o torque ( ) aplicado.
A fórmula que relaciona esses valores é:
Onde:
  • é o torque,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular da precessão.

Passo 6

O momento de inércia ( I = 12 m R^2 ) de um cilindro em relação ao seu eixo é dado por:
Onde:
  • é a massa da roda,
  • é o raio da roda.

Passo 7

Assumindo que o giroscópio está em equilíbrio, o torque ( tau = m g R ) devido ao peso ( ) age a uma distância do pivô. Então:

Passo 8

Substituindo m g R = 12 m R^2 cdot omegap e na equação :

Passo 9

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por g = 12 R cdot omegap :

Passo 10

Isolando omega = 2gR para encontrar a velocidade angular da roda ( ):

Resposta

A velocidade angular da roda do giroscópio é dada por , onde é a aceleração da gravidade e é o raio da roda.

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