A aceleração angular de um pião * 2 pontos é dada pela função abaixo. Se em t =0 s a velocidade angular do pião é 3 rad / s e a posição angular é 4 rad . Obtenha: (a) A velocidade angular do pião no instante 2,0 s. (b) A posição angular do pião no instante 2,0 s.
alpha=4 t^3-2 t^2+4 t
(a) 21,67 rad / s
(b) 24,4 rad
(a) 18,67 rad / s
(b) 9,06 rad
(a) 21,67 rad / s
(b) 19,06 rad
ll (a) 18,67 rad / s & (b) 24,4 rad
ll (a) 15,0 rad / s & (b) 10,67 rad

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a aceleração angular de um pião dada pela função:
alpha(t) = 4t^3 - 2t^2 + 4t
Na hora inicial, quando t = 0 s, a velocidade angular omega é 3 rad/s e a posição angular theta é 4 rad. A gente precisa descobrir:
(a) A velocidade angular omega no instante 2,0 s.
(b) A posição angular theta no mesmo instante.
Pra isso, vamos precisar entender que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, pra achar a velocidade, a gente integra a aceleração.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): encontrar a velocidade angular no instante 2,0 s.
A fórmula da aceleração é:
alpha(t) = domegadt = 4t^3 - 2t^2 + 4t
Pra achar a velocidade, a gente integra a aceleração em relação ao tempo:
omega(t) = integral alpha(t) , dt + omega0
Onde omega0 é a velocidade inicial, que no caso é 3 rad/s.
Então, integrando:
omega(t) = integral (4t^3 - 2t^2 + 4t) , dt + 3
Vamos integrar termo a termo:
  • integral 4t^3 , dt = 4 cdot t^44 = t^4
  • integral -2t^2 , dt = -2 cdot t^33 = -23t^3
  • integral 4t , dt = 4 cdot t^22 = 2t^2
Então, a expressão da velocidade fica:
omega(t) = t^4 - 23t^3 + 2t^2 + 3
Agora, substituímos t = 2,0 s:
omega(2) = (2)^4 - 23(2)^3 + 2(2)^2 + 3 = 16 - 163 + 8 + 3
Vamos calcular:
16 + 8 + 3 = 27 27 - 163 = 813 - 163 = 653 approx 21,67 rad/s

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a posição angular no instante 2,0 s.
Sabemos que a posição angular theta(t) é a integral da velocidade angular omega(t) em relação ao tempo. Assim:
theta(t) = integral omega(t) , dt + theta0
Onde theta0 é a posição angular inicial, que é 4 rad.
Já temos a expressão da velocidade:
omega(t) = t^4 - 23t^3 + 2t^2 + 3
Integrando essa expressão:
theta(t) = integral ( t^4 - 23t^3 + 2t^2 + 3 ) dt + 4
Vamos integrar termo a termo:
  • integral t^4 , dt = t^55
  • integral -23t^3 , dt = -23 cdot t^44 = -t^46
  • integral 2t^2 , dt = 2 cdot t^33 = 23t^3
  • integral 3 , dt = 3t
Então, a expressão da posição fica:
theta(t) = t^55 - t^46 + 23t^3 + 3t + 4
Agora, substituímos t = 2,0 s:
theta(2) = (2)^55 - (2)^46 + 23(2)^3 + 3(2) + 4 = 325 - 166 + 163 + 6 + 4
Vamos calcular:
325 = 6,4 166 approx 2,67 163 approx 5,33 6 + 4 = 10
Somando tudo:
6,4 - 2,67 + 5,33 + 10 = 19,06 rad

Resposta

(a) A velocidade angular do pião no instante 2,0 s é aproximadamente 21,67 rad/s.
(b) A posição angular do pião no instante 2,0 s é aproximadamente 19,06 rad.

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