A aceleração angular de um pião * 2 pontos é dada pela função abaixo. Se em a velocidade angular do pião é e a posição angular é 4 rad . Obtenha: (a) A velocidade angular do pião no instante 2,0 s. (b) A posição angular do pião no instante .

(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a aceleração angular de um pião dada pela função:
Na hora inicial, quando , a velocidade angular é e a posição angular é . A gente precisa descobrir:
(a) A velocidade angular no instante .
(b) A posição angular no mesmo instante.
Pra isso, vamos precisar entender que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, pra achar a velocidade, a gente integra a aceleração.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): encontrar a velocidade angular no instante .
A fórmula da aceleração é:
Pra achar a velocidade, a gente integra a aceleração em relação ao tempo:
Onde é a velocidade inicial, que no caso é .
Então, integrando:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão da velocidade fica:
Agora, substituímos :
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a posição angular no instante .
Sabemos que a posição angular é a integral da velocidade angular em relação ao tempo. Assim:
Onde é a posição angular inicial, que é .
Já temos a expressão da velocidade:
Integrando essa expressão:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão da posição fica:
Agora, substituímos :
Vamos calcular:
Somando tudo:

Resposta

(a) A velocidade angular do pião no instante é aproximadamente .
(b) A posição angular do pião no instante é aproximadamente .

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