A aceleração angular de um pião * 2 pontos é dada pela função abaixo. Se em
a velocidade angular do pião é
e a posição angular é 4 rad . Obtenha: (a) A velocidade angular do pião no instante 2,0 s. (b) A posição angular do pião no instante
.
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a aceleração angular de um pião dada pela função:
Na hora inicial, quando
, a velocidade angular
é
e a posição angular
é
. A gente precisa descobrir:
(a) A velocidade angular
no instante
.
(b) A posição angular
no mesmo instante.
Pra isso, vamos precisar entender que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, pra achar a velocidade, a gente integra a aceleração.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): encontrar a velocidade angular no instante
.
A fórmula da aceleração é:
Pra achar a velocidade, a gente integra a aceleração em relação ao tempo:
Onde
é a velocidade inicial, que no caso é
.
Então, integrando:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão da velocidade fica:
Agora, substituímos
:
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a posição angular no instante
.
Sabemos que a posição angular
é a integral da velocidade angular
em relação ao tempo. Assim:
Onde
é a posição angular inicial, que é
.
Já temos a expressão da velocidade:
Integrando essa expressão:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão da posição fica:
Agora, substituímos
:
Vamos calcular:
Somando tudo:
Resposta
(a) A velocidade angular do pião no instante
é aproximadamente
.
(b) A posição angular do pião no instante
é aproximadamente
.