QUESTÃO 1: Para o filtro passa-faixa baseado em circuito RLC, com o capacitor associado em paralelo ao indutor e o resistor em série a esta associação LC, deduza as expressōes para:
a) Módulo e fase da resposta em frequência H(j omega)
( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão primeiro! Estamos falando de um filtro passa-faixa que usa um circuito RLC. Nesse circuito, o capacitor © está em paralelo com o indutor (L), e esse conjunto paralelo está em série com o resistor ®. Nosso objetivo é encontrar as expressões para o módulo e a fase da resposta em frequência, que é representada por .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos em corrente alternada (CA), como a impedância de resistores, capacitores e indutores, além de como combinar essas impedâncias em série e paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resposta em frequência de um circuito é a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada no domínio da frequência. No nosso caso, a tensão de entrada está sobre todo o circuito, e a tensão de saída será tomada após o resistor.

Passo 3

Vamos identificar as impedâncias de cada componente:
  • Impedância do resistor ®:
    ZR = R
  • Impedância do indutor (L):
    ZL = j omega L
    onde ZC = 1j omega C é a unidade imaginária e é a frequência angular.
  • Impedância do capacitor ©:

Passo 4

Como o capacitor e o indutor estão em paralelo, precisamos encontrar a impedância equivalente desse paralelo ( 1ZLC = 1ZL + 1ZC ). A fórmula para impedâncias em paralelo é:
1ZLC = 1j omega L + j omega C
Substituindo as impedâncias:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
1ZLC = 1j omega L + j omega C = 1j omega L + j omega C (j omega L)j omega L = 1 + (j omega)^2 LCj omega L
Sabendo que 1ZLC = 1 - omega^2 LCj omega L :
ZLC = j omega L1 - omega^2 LC
Portanto, a impedância equivalente é:

Passo 6

O resistor Ztotal = R + ZLC = R + j omega L1 - omega^2 LC está em série com a combinação , então a impedância total do circuito é:

Passo 7

Agora, para encontrar a resposta em frequência H(j omega) = VoutVin = RZtotal = RR + j omega L1 - omega^2 LC , que é a relação entre a tensão de saída ( ) e a tensão de entrada ( ), usamos a divisão de tensão. Como está sobre o resistor :

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão:
H(j omega) = R(1 - omega^2 LC)R(1 - omega^2 LC) + j omega L
Para deixar a expressão no formato de módulo e fase, precisamos racionalizar o denominador.

Passo 9

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
H(j omega) = R(1 - omega^2 LC) cdot [R(1 - omega^2 LC) - j omega L][R(1 - omega^2 LC) + j omega L][R(1 - omega^2 LC) - j omega L]
Simplificando o denominador usando H(j omega) = R(1 - omega^2 LC)[R(1 - omega^2 LC) - j omega L][R(1 - omega^2 LC)]^2 + (omega L)^2 :

Passo 10

Agora, podemos separar o módulo e a fase:
  • Módulo:
    |H(j omega)| = R raiz(1 - omega^2 LC)^2 + (omega LR)^2R^2(1 - omega^2 LC)^2 + (omega L)^2
  • Fase:
    ang<= H(j omega) = arctan( -omega LR(1 - omega^2 LC) )

Resposta

As expressões para o módulo e a fase da resposta em frequência |H(j omega)| = RraizR^2(1 - omega^2 LC)^2 + (omega L)^2 são:
ang<= H(j omega) = arctan( -omega LR(1 - omega^2 LC) )

Exercícios relacionados