Questão: Um grande tanque que contém ar a pressão igual a 1,43 MPa e temperatura 17^circ C alimenta, por um bocal convergente, um tubo de aço de 10 cm de diâmetro (rugosidade do aço 0,04 mm ). O escoamento no tubo pode ser considerado isotérmico e a velocidade na entrada do tubo é de 60 m / s. Em uma posição a jusante no duto, a pressão é de 500 kPa . Calcule o número de Mach nesse local local e a distância a partir da entrada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque grande contendo ar com pressão de 1,43 MPa e temperatura de 17^circ C. Esse ar está saindo por um bocal convergente para um tubo de aço com diâmetro de 10 cm e rugosidade de 0,04 mm. O fluxo de ar no tubo é considerado isotérmico, ou seja, a temperatura permanece constante. Na entrada do tubo, a velocidade do ar é de 60 m/s. Em um ponto a jusante no tubo, a pressão do ar é de 500 kPa. Precisamos calcular o número de Mach nesse ponto e a distância a partir da entrada do tubo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre fluxo compressível (já que estamos lidando com Mach number) e fluxo isotérmico. Vamos também utilizar a equação de continuidade, a equação de estado dos gases ideais e a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o número de Mach. O número de Mach (M) é a razão entre a velocidade do fluxo (V) e a velocidade do som no meio (a):
M = Va
Onde a velocidade do som é dada por:
a = raizgamma cdot R cdot T
Aqui, gamma é a razão dos calores específicos, R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta.
Como o fluxo é isotérmico, a temperatura permanece constante, então podemos calcular a velocidade do som usando a temperatura fornecida.
Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin:
T = 17^circC + 273,15 = 290,15 , K
Assumindo que o ar é um gás ideal com gamma = 1,4 e R = 287 , J/(kg cdot K), podemos calcular a velocidade do som:
a = raiz1,4 cdot 287 cdot 290,15 approx raiz1,4 cdot 287 cdot 290,15 approx raiz116669 approx 341,3 , m/s

Passo 3

Agora que temos a velocidade do som, podemos calcular o número de Mach no ponto a jusante. Para isso, precisamos encontrar a velocidade do ar nesse ponto.
Sabemos que o fluxo é isotérmico, então a massa de ar que entra no tubo é igual à massa que sai. A equação de continuidade para fluxo compressível isotérmico é:
rho1 V1 A1 = rho2 V2 A2
Como o diâmetro do tubo é constante (10 cm), as áreas de entrada e saída são iguais, então rho1 V1 = rho2 V2.
Podemos utilizar a equação dos gases ideais para relacionar as densidades:
rho1rho2 = P1P2
Dessa forma:
V2 = V1 cdot P1P2
Substituindo os valores:
V2 = 60 , m/s cdot 1,43 times 10^6 , Pa500 times 10^3 , Pa = 60 cdot 2,86 = 171,6 , m/s

Passo 4

Com a velocidade no ponto a jusante, podemos calcular o número de Mach:
M = Va = 171,6341,3 approx 0,503
Então, o número de Mach nesse ponto é aproximadamente 0,503.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância desde a entrada até o ponto a jusante onde a pressão é de 500 kPa. Para isso, usaremos a equação de perda de carga de Darcy-Weisbach:
De
Onde:
  • De é a perda de pressão (diferença entre a pressão na entrada e no ponto a jusante).
  • f é o fator de atrito.
  • L é o comprimento do tubo (que queremos encontrar).
  • D é o diâmetro do tubo.
  • rho é a densidade do ar.
  • V é a velocidade do fluxo.
Primeiro, calculamos a perda de pressão:
De
Precisamos encontrar rho, que podemos obter da equação dos gases ideais:
rho = PR T = 1,43 times 10^6287 cdot 290,15 approx 1,43 times 10^683100 approx 17,2 , kg/m^3
Assumindo que o fator de atrito f para fluxo turbulento em tubo liso pode ser estimado usando a equação de Colebrook:
1raizf = -2 log ( varepsilon/D3,7 + 2,51Re raizf )
Para simplificar, podemos usar uma estimativa para f para fluxo turbulento, por exemplo, f approx 0,02.

Passo 6

Agora, reorganizamos a equação de Darcy-Weisbach para encontrar L:
L = De
Substituindo os valores:
L = 930 times 10^3 cdot 0,10,02 cdot 17,2 cdot (171,6)^22 approx 93.0000,02 cdot 17,2 cdot 29.4672 approx 93.0000,02 cdot 253,56 approx 93.0005,071 approx 18.338 , m
Então, a distância desde a entrada até o ponto onde a pressão é de 500 kPa é aproximadamente 18.338 metros.

Resposta

O número de Mach no ponto a jusante é aproximadamente 0,503 e a distância desde a entrada até esse ponto é de cerca de 18.338 metros.

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