Questão: Um grande tanque que contém ar a pressão igual a
e temperatura
alimenta, por um bocal convergente, um tubo de aço de 10 cm de diâmetro (rugosidade do aço
). O escoamento no tubo pode ser considerado isotérmico e a velocidade na entrada do tubo é de
. Em uma posição a jusante no duto, a pressão é de 500 kPa . Calcule o número de Mach nesse local local e a distância a partir da entrada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque grande contendo ar com pressão de
e temperatura de
. Esse ar está saindo por um bocal convergente para um tubo de aço com diâmetro de 10 cm e rugosidade de
. O fluxo de ar no tubo é considerado isotérmico, ou seja, a temperatura permanece constante. Na entrada do tubo, a velocidade do ar é de
. Em um ponto a jusante no tubo, a pressão do ar é de 500 kPa. Precisamos calcular o número de Mach nesse ponto e a distância a partir da entrada do tubo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre fluxo compressível (já que estamos lidando com Mach number) e fluxo isotérmico. Vamos também utilizar a equação de continuidade, a equação de estado dos gases ideais e a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o número de Mach. O número de Mach (M) é a razão entre a velocidade do fluxo (V) e a velocidade do som no meio (a):
Onde a velocidade do som é dada por:
Aqui,
é a razão dos calores específicos,
é a constante dos gases e
é a temperatura absoluta.
Como o fluxo é isotérmico, a temperatura permanece constante, então podemos calcular a velocidade do som usando a temperatura fornecida.
Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin:
Assumindo que o ar é um gás ideal com
e
, podemos calcular a velocidade do som:
Passo 3
Agora que temos a velocidade do som, podemos calcular o número de Mach no ponto a jusante. Para isso, precisamos encontrar a velocidade do ar nesse ponto.
Sabemos que o fluxo é isotérmico, então a massa de ar que entra no tubo é igual à massa que sai. A equação de continuidade para fluxo compressível isotérmico é:
Como o diâmetro do tubo é constante (10 cm), as áreas de entrada e saída são iguais, então
.
Podemos utilizar a equação dos gases ideais para relacionar as densidades:
Dessa forma:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com a velocidade no ponto a jusante, podemos calcular o número de Mach:
Então, o número de Mach nesse ponto é aproximadamente 0,503.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância desde a entrada até o ponto a jusante onde a pressão é de 500 kPa. Para isso, usaremos a equação de perda de carga de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é a perda de pressão (diferença entre a pressão na entrada e no ponto a jusante). -
é o fator de atrito. -
é o comprimento do tubo (que queremos encontrar). -
é o diâmetro do tubo. -
é a densidade do ar. -
é a velocidade do fluxo.
Primeiro, calculamos a perda de pressão:
Precisamos encontrar
, que podemos obter da equação dos gases ideais:
Assumindo que o fator de atrito
para fluxo turbulento em tubo liso pode ser estimado usando a equação de Colebrook:
Para simplificar, podemos usar uma estimativa para
para fluxo turbulento, por exemplo,
.
Passo 6
Agora, reorganizamos a equação de Darcy-Weisbach para encontrar
:
Substituindo os valores:
Então, a distância desde a entrada até o ponto onde a pressão é de 500 kPa é aproximadamente 18.338 metros.
Resposta
O número de Mach no ponto a jusante é aproximadamente
e a distância desde a entrada até esse ponto é de cerca de
metros.