Questão: Ar escoa de um reservatório mantido 30^circ C e 500 kPa absolutos, através de um bocal convergentedivergente. Os diâmetros da garganta e da saída são respectivamente, 5 cm e 15 cm .
(a) Quais são os valores de contrapressão que garantem escoamento bloqueado porém isoentrópico no bocal?
(b) Qual é o fluxo de massa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de fluxo de ar saindo de um reservatório a 30°C e 500 kPa passando por um bocal convergente-divergente. As diaturas da garganta e da saída são 5 cm e 15 cm, respectivamente. A gente vai precisar entender conceitos de fluxo de gases, escoamento isoentrópico (sem troca de calor e irreversível), e como a contrapressão afeta esse fluxo. Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “escoamento bloqueado porém isoentrópico”. Isso quer dizer que o fluxo é restrito de forma que não há formação de ondas de choque dentro do bocal, mantendo o processo isoentrópico. Para garantir isso, a contrapressão na saída do bocal deve estar dentro de certos valores que evitam a formação dessas ondas.

Passo 3

Vamos começar determinando a pressão de garganta (p_t) para um fluxo isoentrópico. Usamos a equação de escoamento para gás perfeito em fluxo isentrópico. A relação entre a pressão total (p0) e a pressão de garganta é dada por:
( ptp0 ) = [ 1 + gamma - 12 Mt^2 ]^-gammagamma - 1
Onde:
  • gamma é a razão de capacidades térmicas (para o ar, gamma = 1,4),
  • Mt é o número de Mach na garganta.
No escoamento crítico, na garganta, o número de Mach Mt = 1.

Passo 4

Substituindo Mt = 1 na equação:
( ptp0 ) = [ 1 + 1,4 - 12 times 1^2 ]^-1,41,4 - 1 = [ 1 + 0,2 ]^-3,5 = (1,2)^-3,5 approx 0,513
Então, a pressão na garganta é:
pt = 0,513 times p0 = 0,513 times 500, kPa approx 256,5, kPa

Passo 5

Agora, para garantir um escoamento isoentrópico sem bloqueio, a contrapressão pcontrapressãoã na saída deve ser igual à pressão de saída que manteria o fluxo isoentrópico. Em um bocal convergente-divergente, a pressão de saída pode variar, mas para evitar ondas de choque e manter o fluxo isoentrópico, pcontrapressãoã deve ser igual à pressão de saída isentrópica.

Passo 6

A pressão de saída isentrópica pe em um bocal convergente-divergente pode ser determinada considerando a relação de áreas e a condição de fluxo isentrópico. A relação de áreas é dada por:
AeAt = 1Me [ 2gamma + 1 ( 1 + gamma - 12 Me^2 ) ]^gamma + 12(gamma - 1)
Onde Ae = 15, cm e At = 5, cm, assim AeAt = 3.

Passo 7

Precisamos resolver essa equação para encontrar o número de Mach na saída Me. Essa equação é transcendental e geralmente é resolvida numericamente. Porém, sabemos que para uma relação de área de 3, o fluxo superaônico é necessário, ou seja, Me > 1.
Após resolver numericamente (ou consultar tabelas de fluxo isentrópico), encontramos que para essa relação de área, Me approx 2,5.

Passo 8

Agora, com Me approx 2,5, podemos encontrar a pressão de saída:
pep0 = [ 1 + gamma - 12 Me^2 ]^-gammagamma - 1 = [ 1 + 0,2 times 2,5^2 ]^-3,5 = [ 1 + 1,25 ]^-3,5 = (2,25)^-3,5 approx 0,070
Então,
pe = 0,070 times 500, kPa = 35, kPa

Resposta

(a) A contrapressão que garante escoamento bloqueado porém isoentrópico no bocal é aproximadamente 35 kPa.

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