Questão: Ar escoa de um reservatório mantido
e 500 kPa absolutos, através de um bocal convergentedivergente. Os diâmetros da garganta e da saída são respectivamente, 5 cm e 15 cm .
(a) Quais são os valores de contrapressão que garantem escoamento bloqueado porém isoentrópico no bocal?
(b) Qual é o fluxo de massa?
(a) Quais são os valores de contrapressão que garantem escoamento bloqueado porém isoentrópico no bocal?
(b) Qual é o fluxo de massa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de fluxo de ar saindo de um reservatório a 30°C e 500 kPa passando por um bocal convergente-divergente. As diaturas da garganta e da saída são 5 cm e 15 cm, respectivamente. A gente vai precisar entender conceitos de fluxo de gases, escoamento isoentrópico (sem troca de calor e irreversível), e como a contrapressão afeta esse fluxo. Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “escoamento bloqueado porém isoentrópico”. Isso quer dizer que o fluxo é restrito de forma que não há formação de ondas de choque dentro do bocal, mantendo o processo isoentrópico. Para garantir isso, a contrapressão na saída do bocal deve estar dentro de certos valores que evitam a formação dessas ondas.
Passo 3
Vamos começar determinando a pressão de garganta (p_t) para um fluxo isoentrópico. Usamos a equação de escoamento para gás perfeito em fluxo isentrópico. A relação entre a pressão total (p0) e a pressão de garganta é dada por:
Onde:
-
é a razão de capacidades térmicas (para o ar, ), -
é o número de Mach na garganta.
No escoamento crítico, na garganta, o número de Mach
.
Passo 4
Substituindo
na equação:
Então, a pressão na garganta é:
Passo 5
Agora, para garantir um escoamento isoentrópico sem bloqueio, a contrapressão
na saída deve ser igual à pressão de saída que manteria o fluxo isoentrópico. Em um bocal convergente-divergente, a pressão de saída pode variar, mas para evitar ondas de choque e manter o fluxo isoentrópico,
deve ser igual à pressão de saída isentrópica.
Passo 6
A pressão de saída isentrópica
em um bocal convergente-divergente pode ser determinada considerando a relação de áreas e a condição de fluxo isentrópico. A relação de áreas é dada por:
Onde
e
, assim
.
Passo 7
Precisamos resolver essa equação para encontrar o número de Mach na saída
. Essa equação é transcendental e geralmente é resolvida numericamente. Porém, sabemos que para uma relação de área de 3, o fluxo superaônico é necessário, ou seja,
.
Após resolver numericamente (ou consultar tabelas de fluxo isentrópico), encontramos que para essa relação de área,
.
Passo 8
Agora, com
, podemos encontrar a pressão de saída:
Então,
Resposta
(a) A contrapressão que garante escoamento bloqueado porém isoentrópico no bocal é aproximadamente 35 kPa.