O objetivo deste problema é dimensionar o berço de atracação de barcaças (Para a barcaça-tipo, são fornecidos os seguintes dados geométricos:
B 1=4 m ; B 2=B 1+3 m ; B 3=1,50 m ; B 4=10+X m. Nesse caso, X é o último algarismo de seu número de matrícula. Por exemplo, para o número de matrícula hipotético 21812ECV019, X=9.
O peso próprio da barcaça é de 200 kg por metro de comprimento.
A zona portuária deverá receber cargas de areia e de cascalho. Sabe-se que a areia úmida tem massa específica entre 1700 e 2300 kg / m^3. O cascalho úmido apresenta massa específica que varia entre 1800 e 2000 kg / m^3.
O carregamento máximo a ser transportado deve ser de 75 tf .
Na região portuária, as águas estuarinas apresentam densidade que historicamente variam entre 1,01 e 1,06.
Considerando que esse porto seja fundamental para o sistema hidroviário, são formulados alguns quesitos:
Qual é o maior volume de areia que pode ser transportado por uma barcaça-tipo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para dimensionar o berço de atracação de barcaças e descobrir qual é o maior volume de areia que uma barcaça-tipo pode transportar. Para isso, vamos usar conceitos de hidrostática e flutuabilidade. Precisaremos calcular a capacidade de carga da barcaça considerando seu peso próprio, o peso das cargas (areia e cascalho) e a densidade da água na região portuária.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da barcaça. Foram fornecidos os seguintes dados geométricos:
  • $ B_1 = 4 $ m
  • $ B_2 = B_1 + 3 = 4 + 3 = 7 $ m
  • $ B_3 = 1,50 $ m
  • $ B_4 = 10 + X $ m
Aqui, $ X $ é o último algarismo do número de matrícula. Como não temos esse número, vamos deixar $ B_4 = 10 + X $ m como está.

Passo 3

O peso próprio da barcaça é de 200 kg por metro de comprimento. Para calcular o peso total da barcaça ($ P_{barcaça} $), precisamos multiplicar esse valor pelo comprimento total $ B_4 $:
Pbarcaça ç

Passo 4

A carga máxima que a barcaça pode transportar é de 75 toneladas-força (tf). Vamos converter isso para quilogramas para facilitar os cálculos:
75 , tf = 75 times 1000 , kg = 75.000 , kg

Passo 5

Agora, vamos considerar a densidade da água nos estuários, que varia entre 1,01 e 1,06. Para simplificar, vamos usar o valor médio:
rhoágua = 1,01 + 1,062 = 1,035 , g/cm^3 = 1035 , kg/m^3 á

Passo 6

A princípio, para que a barcaça flutue, o peso total (barcaça + carga) deve ser igual ao peso da água deslocada. A fórmula da flutuabilidade é:
Ptotal = Págua,deslocada á
Onde:
Págua,deslocada = rhoágua times Vdeslocado times g áá
Como vamos cancelar a aceleração da gravidade ($ g $), podemos simplificar:
g á

Passo 7

O peso total ($ P_{total} $) é a soma do peso da barcaça e da carga máxima:
Ptotal ç

Passo 8

Igualamos $ P_{total} $ ao peso da água deslocada:
Ptotal
Vamos resolver para $ V_{deslocado} $:
200 times (10 + X) + 75.000 = 1035 times Vdeslocado

Passo 9

Agora, precisamos considerar que o volume deslocado deve acomodar tanto a carga de areia quanto o peso da barcaça. Mas como já incluímos o peso da barcaça na equação, o $ V_{deslocado} $ calculado acima representa a capacidade total. Então, o volume de areia ($ V_{areia} $) que pode ser transportado será:
Vdeslocado ç
Considerando a menor densidade da areia úmida para maximizar o volume:
Vareia
Então:
Vareia = Vdeslocado - Pbarcaçarhoareia

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos cada parte separadamente:
A = 200 times (10 + X) + 75.0001035
B = 200 times (10 + X)1700
Então:
Vareia = A - B

Passo 11

Substituindo os valores:
A = 200 times (10 + X) + 75.0001035
= 2000 + 200X + 75.0001035
= 77.000 + 200X1035
E:
B = 200 times (10 + X)1700
= 2000 + 200X1700
= 2000 + 200X1700 = 200(X + 10)1700 = 2001700(X + 10) = 20170(X + 10) = 217(X + 10)

Passo 12

Agora, substituímos A e B na expressão de $ V_{areia} $:
Vareia
Para simplificar, vamos converter todas as frações para denominadores comuns ou calcular numericamente dependendo do valor de $ X $.

Passo 13

Como não temos o valor de $ X $, vamos deixar a expressão em termos de $ X $:
X
Podemos simplificar esta expressão, mas o resultado final dependerá do valor de $ X $. Portanto, sem o valor exato de $ X $, não podemos fornecer um número específico.

Resposta

O maior volume de areia que pode ser transportado pela barcaça-tipo é dado por:
Vareia = 77.000 + 200X1035 - 217(X + 10) , m^3
Onde $ X $ é o último algarismo do número de matrícula. Substituindo o valor de $ X $ na expressão acima, você obterá o volume máximo de areia que a barcaça pode transportar.

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