QUESTÃO O que há de errado com a

Afirmação: Todos os cavalos têm a mesma cor.

Demonstração: Seja C um conjunto de cavalos tal que #(C) = n.
Vamos provar que a frase
*PASSO BASE: Se n = 1, então o conjunto tem apenas um elemento. Neste caso, a frase acima é obviamente verdadeira: em um conjunto com um cavalo só há cavalos da mesma cor.
*PASSO DE INDUÇÃO:
Hipótese: Em toco conjunto com k cavalos, só há cavalos de mesma cor.
Tese: Em todo conjunto com k + 1 cavalos, só há cavalos de mesma cor.
Com efeito, seja C = {c1, c2, ..., ck, ck+1} um conjunto com k + 1 cavalos. Vamos separar de C um cavalo de cada vez, formando dois conjuntos novos:
A = {c1, c2, ..., ck} e B = {c2, ..., ck, ck+1}.
É óbvio que o número de elementos de A e de B é o mesmo: k. E por hipótese de indução, todos os cavalos de A são da mesma cor. Sem perda de generalidade, podemos dizer que todos os cavalos de A são de cor P (escolha a cor que você quiser para chamar de P ). Da mesma forma, os cavalos de B, por hipótese de indução, também têm a mesma cor, digamos Q. Mas observe que o cavalo c2 pertence tanto a A quanto a B. Assim, c2 tem a cor P e a cor Q, ou seja, estas cores são iguais!!!
Assim, de c1 até c_k+1, todos os cavalos têm a mesma cor. E portanto, todos os cavalos de C têm a mesma cor, como queríamos demonstrar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Todos os cavalos têm a mesma cor.” O exercício está tentando provar isso usando matemática, mais especificamente, um método chamado indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a indução funciona e identificar onde a prova está errada.

Passo 2

Primeiro, entender o que a indução matemática faz. É um método de prova que funciona em dois passos principais:
  1. Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para um caso inicial, geralmente quando .
  2. Passo de indução: Assumir que a afirmação é verdadeira para (hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que a afirmação também é verdadeira para .
Aqui, a afirmação é que todos os cavalos em um conjunto têm a mesma cor.

Passo 3

Vamos ver o caso base que a prova dá: se temos apenas um cavalo ( ), então, obviamente, todos os cavalos nesse conjunto têm a mesma cor, porque tem só um. Esse passo está certinho!

Passo 4

Agora, o passo de indução. A prova assume que em qualquer conjunto com cavalos, todos têm a mesma cor. Então, para mostrar que isso vale para cavalos, ela divide o grupo de cavalos em dois grupos de cavalos cada:
  • Grupo A:
  • Grupo B:
Como cada grupo tem cavalos, pela hipótese de indução, todos no Grupo A têm uma cor e todos no Grupo B têm uma cor . O cavalo está em ambos os grupos, então . Assim, supostamente, todos os cavalos têm a mesma cor.

Passo 5

Parece que a prova está funcionando, certo? Mas tem um pulo no raciocínio quando !
Vamos testar para :
  • Grupo A:
  • Grupo B:
Aqui, nenhum cavalo está em ambos os grupos. Ou seja, não temos um cavalo comum para garantir que . Então, a conclusão de que não se sustenta nesse caso.

Passo 6

Por causa desse erro no passo de indução quando , a prova não consegue provar que todos os cavalos têm a mesma cor para qualquer número de cavalos maior que 1. Portanto, a afirmação inicial está errada e a prova falha no passo de indução.

Resposta

A afirmação de que “Todos os cavalos têm a mesma cor” está errada porque a prova por indução falha no passo de indução para , onde não há um cavalo comum nos grupos formados, tornando impossível concluir que todas as cores são iguais.

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.115ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 2261 1000”><title>P(A)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“50” d=“M37 475Q19 475 19 487Q19 536 103 604T327 682Q329 682 344 682T380 682T421 683H463Q625 683 695 615Q718 591 726 564Q733 547 733 525Q733 412 607 312T321 205H312Q293 205 293 217Q293 224 302 236T333 260T385 274Q558 287 614 407Q633 445 633 477Q633 515 612 543T556 585T481 607T399 614H370L368 603Q352 463 312 312T242 82T202 -13Q190 -33 164 -45T121 -57Q108 -57 108 -45Q108 -40 120 -10T151 73T192 190T233 349T266 539Q267 546 269 565T272 598T274 613H270Q209 613 163 588Q131 572 113 518Q102 502 80 490T37 475Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(733,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1122,0)”><path data-c=“1D434” d=“M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1872,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> o conjunto das partes de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.697ex” height=“1.62ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -716 750 716”><title>A</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D434” d=“M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Mostre que a equipotência é uma relação de equivalência em <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.115ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 2261 1000”><title>P(A)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“50” d=“M37 475Q19 475 19 487Q19 536 103 604T327 682Q329 682 344 682T380 682T421 683H463Q625 683 695 615Q718 591 726 564Q733 547 733 525Q733 412 607 312T321 205H312Q293 205 293 217Q293 224 302 236T333 260T385 274Q558 287 614 407Q633 445 633 477Q633 515 612 543T556 585T481 607T399 614H370L368 603Q352 463 312 312T242 82T202 -13Q190 -33 164 -45T121 -57Q108 -57 108 -45Q108 -40 120 -10T151 73T192 190T233 349T266 539Q267 546 269 565T272 598T274 613H270Q209 613 163 588Q131 572 113 518Q102 502 80 490T37 475Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(733,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1122,0)”><path data-c=“1D434” d=“M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1872,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>