QUESTÃO Seja
um conjunto não vazio e
o conjunto das partes de
. Mostre que a equipotência é uma relação de equivalência em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a equipotência é uma relação de equivalência no conjunto das partes de um conjunto
(ou seja,
). Isso envolve entender o que é equipotência e o que define uma relação de equivalência. Para resolver, vamos precisar conhecer os conceitos de conjunto, poder conjunto, equipotência e as propriedades que uma relação de equivalência deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos definir equipotência. Dizemos que dois conjuntos são equipotentes (ou têm a mesma potência) se existe uma bijeção entre eles. Uma bijeção é uma função que é injetora (cada elemento de um conjunto está ligado a um único elemento do outro) e sobrejetora (todos os elementos do segundo conjunto são atingidos). Em termos matemáticos, dois conjuntos
e
são equipotentes se existe uma função
que é bijetora.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é uma relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado a si mesmo. Ou seja,
para todo . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
No nosso caso, a relação
é a equipotência entre os elementos de
.
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a equipotência em
:
-
Reflexiva: Todo conjunto é equipotente a si mesmo porque a função identidade
, onde cada elemento é mapeado para si mesmo, é uma bijeção. Assim, é equipotente a . -
Simétrica: Se
é equipotente a , então existe uma bijeção . A função inversa também é uma bijeção, o que mostra que é equipotente a . -
Transitiva: Se
é equipotente a (com bijeção ) e é equipotente a (com bijeção ), então a composição é uma bijeção, mostrando que é equipotente a .
Resposta
Como a equipotência satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que ela é uma relação de equivalência em
.