QUESTÃO Seja A um conjunto não vazio e P(A) o conjunto das partes de A. Mostre que a equipotência é uma relação de equivalência em P(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a equipotência é uma relação de equivalência no conjunto das partes de um conjunto (ou seja, ). Isso envolve entender o que é equipotência e o que define uma relação de equivalência. Para resolver, vamos precisar conhecer os conceitos de conjunto, poder conjunto, equipotência e as propriedades que uma relação de equivalência deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos definir equipotência. Dizemos que dois conjuntos são equipotentes (ou têm a mesma potência) se existe uma bijeção entre eles. Uma bijeção é uma função que é injetora (cada elemento de um conjunto está ligado a um único elemento do outro) e sobrejetora (todos os elementos do segundo conjunto são atingidos). Em termos matemáticos, dois conjuntos e são equipotentes se existe uma função que é bijetora.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é uma relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado a si mesmo. Ou seja, para todo .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
No nosso caso, a relação é a equipotência entre os elementos de .

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a equipotência em :
  1. Reflexiva: Todo conjunto é equipotente a si mesmo porque a função identidade , onde cada elemento é mapeado para si mesmo, é uma bijeção. Assim, é equipotente a .
  2. Simétrica: Se é equipotente a , então existe uma bijeção . A função inversa também é uma bijeção, o que mostra que é equipotente a .
  3. Transitiva: Se é equipotente a (com bijeção ) e é equipotente a (com bijeção ), então a composição é uma bijeção, mostrando que é equipotente a .

Resposta

Como a equipotência satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que ela é uma relação de equivalência em .

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