QUESTÃO Prove que se
é infinito e
é finito, então
também é infinito.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que se o conjunto
é infinito e o conjunto
é finito, então a união
também é infinito. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de conjuntos infinitos, conjuntos finitos e a operação de união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um conjunto
é infinito se ele não tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números naturais
é infinito porque nunca termina.
Passo 3
Já um conjunto
é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo,
é um conjunto finito com três elementos.
Passo 4
A união de dois conjuntos
é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
ou em ambos. Então, ao unir um conjunto infinito com um conjunto finito, precisamos verificar se o resultado continua sendo infinito.
Passo 5
Como
é infinito, ele já tem infinitos elementos. Adicionar um número finito de elementos de
a
não muda a propriedade de ter infinitos elementos. Isso porque infinitamente grande, mais um pouquinho ainda é infinito.
Passo 6
Formalmente, podemos argumentar que existe uma injeção de
em
. Ou seja, cada elemento de
pode ser mapeado para ele mesmo em
, garantindo que
não tem menos elementos que
.
Passo 7
Como
é infinito e
contém todos os elementos de
,
também deve ser infinito.
Resposta
Portanto, se
é um conjunto infinito e
é um conjunto finito, então
é infinito.