QUESTÃO Prove que se A é infinito e B é finito, então A ∪ B também é infinito.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que se o conjunto é infinito e o conjunto é finito, então a união também é infinito. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de conjuntos infinitos, conjuntos finitos e a operação de união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um conjunto é infinito se ele não tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números naturais é infinito porque nunca termina.

Passo 3

Já um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, é um conjunto finito com três elementos.

Passo 4

A união de dois conjuntos é o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em ou em ambos. Então, ao unir um conjunto infinito com um conjunto finito, precisamos verificar se o resultado continua sendo infinito.

Passo 5

Como é infinito, ele já tem infinitos elementos. Adicionar um número finito de elementos de a não muda a propriedade de ter infinitos elementos. Isso porque infinitamente grande, mais um pouquinho ainda é infinito.

Passo 6

Formalmente, podemos argumentar que existe uma injeção de em . Ou seja, cada elemento de pode ser mapeado para ele mesmo em , garantindo que não tem menos elementos que .

Passo 7

Como é infinito e contém todos os elementos de , também deve ser infinito.

Resposta

Portanto, se é um conjunto infinito e é um conjunto finito, então é infinito.

Exercícios relacionados