Suponha que foram escolhidos 5 engenheiros deste grupo:
Se a escolha foi feita com reposição, determine a probabilidade de encontrarmos 2 engenheiros com salário abaixo de .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um grupo de engenheiros e vamos escolher 5 deles, com reposição. Ou seja, depois de escolher um engenheiro, ele volta para o grupo e pode ser escolhido novamente. A gente quer saber qual é a probabilidade de exatamente 2 desses 5 engenheiros terem um salário abaixo de R$ 8.500,00.
Para resolver isso, vamos usar o teorema de probabilidade binomial. Esse teorema é ótimo para situações onde temos um número fixo de tentativas (nesse caso, 5 escolhas), cada tentativa tem dois resultados possíveis (ter ou não ter salário abaixo de R$ 8.500,00), as tentativas são independentes (por causa da reposição) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os elementos que vamos precisar:
  • n: número total de tentativas (escolhas) = 5
  • k: número de sucessos desejados (engenheiros com salário abaixo de R$ 8.500,00) = 2
  • p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa (um engenheiro ter salário abaixo de R$ 8.500,00)
Como o enunciado não nos dá o valor de p, vamos deixar a resposta em termos de p.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. É calculado como:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial para os nossos valores:
Então, há 10 maneiras de escolher exatamente 2 engenheiros com salário abaixo de R$ 8.500,00 em 5 escolhas.

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
Isso significa que a probabilidade de exatamente 2 dos 5 engenheiros escolhidos terem salário abaixo de R$ 8.500,00 é 10 vezes vezes .

Resposta

A probabilidade de encontrar exatamente 2 engenheiros com salário abaixo de R$ 8.500,00 é:
Onde p é a probabilidade de um único engenheiro ter salário abaixo de R$ 8.500,00.

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