Questão 4. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote.
(a) Qual é a probabilidade do lote ser aceito?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 120 peças, das quais 20 são defeituosas. O controle de qualidade vai selecionar uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se, nessa amostra, tiver no máximo 1 peça defeituosa. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de o lote ser aceito. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade hipergeométrica, que é ótima para situações onde temos uma população finita e queremos calcular a chance de certos eventos em amostras sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade hipergeométrica:
P(k) = dbinomDk dbinomN - Dn - kdbinomNn
Onde:
  • é o tamanho total da população (120 peças).
  • é o número de itens defeituosos na população (20 peças).
  • é o tamanho da amostra (5 peças).
  • é o número de itens defeituosos na amostra (no máximo 1, então 0 ou 1).
Vamos calcular a probabilidade para e e depois somar essas probabilidades para obter a probabilidade total de aceitação do lote.

Passo 3

Vamos calcular P(0) = dbinom200 dbinom1005dbinom1205 , a probabilidade de não ter nenhuma peça defeituosa na amostra:
P(0) = 1 times dbinom1005dbinom1205
Sabemos que P(1) = dbinom201 dbinom1004dbinom1205 , então:
P(1) = 20 times dbinom1004dbinom1205
Agora, vamos calcular , a probabilidade de ter exatamente uma peça defeituosa na amostra:
, então:

Passo 4

Vamos calcular os valores das combinações:
dbinom1005 = 100!5!(100-5)! = 75,!287,!520
dbinom1205 = 120!5!(120-5)! = 24,!040,!016
dbinom1004 = 100!4!(100-4)! = 3,!921,!225
Agora substituindo de volta:
P(0) = 75,!287,!52024,!040,!016 approx 3,!129,!387.44
P(1) = 20 times 3,!921,!22524,!040,!016 approx 78,!424,!50024,!040,!016 approx 3,!261,!07
Nota: Os valores intermediários são grandes e é recomendável usar uma calculadora ou software para precisão.

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades de P(aceitação) = P(0) + P(1) e P(aceitação) approx 3,!129,!387.44 + 3,!261,!07 approx 6,!390,!454.44 para obter a probabilidade total de aceitação do lote:
P(aceitação) approx 6,!390,!454.44dbinom1205 approx 6,!390,!454.4424,!040,!016 approx 0.266 çã
Calculando:
çã
Para obter a probabilidade, dividimos pelo total de combinações possíveis:
çã

Resposta

A probabilidade do lote ser aceito é aproximadamente 26,6%.

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