Questão 4. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote.
(a) Qual é a probabilidade do lote ser aceito?
(a) Qual é a probabilidade do lote ser aceito?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 120 peças, das quais 20 são defeituosas. O controle de qualidade vai selecionar uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se, nessa amostra, tiver no máximo 1 peça defeituosa. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de o lote ser aceito. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade hipergeométrica, que é ótima para situações onde temos uma população finita e queremos calcular a chance de certos eventos em amostras sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade hipergeométrica:
Onde:
-
é o tamanho total da população (120 peças). -
é o número de itens defeituosos na população (20 peças). -
é o tamanho da amostra (5 peças). -
é o número de itens defeituosos na amostra (no máximo 1, então 0 ou 1).
Vamos calcular a probabilidade para
e
e depois somar essas probabilidades para obter a probabilidade total de aceitação do lote.
Passo 3
Vamos calcular
, a probabilidade de não ter nenhuma peça defeituosa na amostra:
Sabemos que
, então:
Agora, vamos calcular
, a probabilidade de ter exatamente uma peça defeituosa na amostra:
Passo 4
Vamos calcular os valores das combinações:
Agora substituindo de volta:
Nota: Os valores intermediários são grandes e é recomendável usar uma calculadora ou software para precisão.
Passo 5
Agora, somamos as probabilidades de
e
para obter a probabilidade total de aceitação do lote:
Calculando:
Para obter a probabilidade, dividimos pelo total de combinações possíveis:
Resposta
A probabilidade do lote ser aceito é aproximadamente 26,6%.