Questão. Uma partícula de massa 9,11 times 10^-31 kg está sujeita a um movimento ao longo de um anel de raio 1,8 AA.
a) Calcule a diferença energia envolvida na transição entre os níveis m=0 e m=1.
b) O diagrama de energia deste problema apresenta estados degenerados? Discuta.
c) Mostre que as funções de onda que representam os estados m=0 e m=1 são ortogonais.

Passo 1

Então, temos uma partícula com massa se movendo ao longo de um anel com raio Å. Vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas em potenciais circulares. Para resolver a parte a), precisamos calcular a diferença de energia entre os níveis e . Vamos precisar das fórmulas para energia de estados quantizados em um anel e das constantes físicas como a constante de Planck reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia dos estados de uma partícula em um anel é dada por:
Em = hbar^2 m^22I
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida ( ),
  • é o número quântico associado ao momento angular,
  • é o momento de inércia da partícula.

Passo 3

O momento de inércia I = M r^2 para uma partícula de massa I = (9,11 times 10^-31 , kg) times (1,8 times 10^-10 , m)^2 em um anel de raio I = 9,11 times 10^-31 times 3,24 times 10^-20 , kg cdot m^2 é:
I = 2,95 times 10^-50 , kg cdot m^2
Vamos calcular com os valores fornecidos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia para E0 = hbar^2 (0)^22I = 0 e E1 = hbar^2 (1)^22I = hbar^22I .
Para :
Para :

Passo 5

A diferença de energia De entre os níveis De e De é:
De
Sabemos que , então:

Passo 6

Vamos analisar a parte b) da questão: “O diagrama de energia deste problema apresenta estados degenerados? Discuta.” Aqui, vamos usar conceitos de degenerescência dos estados energéticos na Mecânica Quântica.

Passo 7

Estados são ditos degenerados quando diferentes estados quânticos compartilham a mesma energia. No caso de uma partícula em um anel, a energia depende unicamente do número quântico , que representa o momento angular.

Passo 8

Observamos que a energia Em = E-m depende apenas de . Portanto, para e , a energia é a mesma:
Isso significa que para cada valor positivo de , existe um valor negativo correspondente que tem a mesma energia.

Passo 9

No caso específico:
  • Para , há um único estado.
  • Para e , os estados são degenerados.

Passo 10

Agora, vamos resolver a parte c): “Mostre que as funções de onda que representam os estados e são ortogonais.” Isso envolve conceitos de ortogonalidade de funções de onda na Mecânica Quântica.

Passo 11

Funções de onda são ortogonais se o seu produto interno for zero. Para o anel, as funções de onda são do tipo:
psim(theta) = 1raiz2pi e^i m theta
Onde é o ângulo ao longo do anel.

Passo 12

Vamos calcular o produto interno entre lang<= psi0 | psi1 rang<= = integral0^2pi psi0^*(theta) psi1(theta) , dtheta e lang<= psi0 | psi1 rang<= = integral0^2pi 1raiz2pi e^-i cdot 0 cdot theta cdot 1raiz2pi e^i cdot 1 cdot theta , dtheta :
= 12pi integral0^2pi e^i theta , dtheta
Substituindo as funções:

Passo 13

Calculando a integral:
integral0^2pi e^i theta , dtheta = [ e^i thetai ]0^2pi = e^i 2pi - e^i 0i = 1 - 1i = 0
Portanto:
lang<= psi0 | psi1 rang<= = 02pi = 0

Resposta

As funções de onda para e são ortogonais, já que seu produto interno é igual a zero.

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