Questão. Uma partícula de massa
está sujeita a um movimento ao longo de um anel de raio
.
a) Calcule a diferença energia envolvida na transição entre os níveis
e
.
b) O diagrama de energia deste problema apresenta estados degenerados? Discuta.
c) Mostre que as funções de onda que representam os estados
e
são ortogonais.
a) Calcule a diferença energia envolvida na transição entre os níveis
b) O diagrama de energia deste problema apresenta estados degenerados? Discuta.
c) Mostre que as funções de onda que representam os estados
Passo 1
Então, temos uma partícula com massa
se movendo ao longo de um anel com raio
. Vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas em potenciais circulares. Para resolver a parte a), precisamos calcular a diferença de energia entre os níveis
e
. Vamos precisar das fórmulas para energia de estados quantizados em um anel e das constantes físicas como a constante de Planck reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia dos estados de uma partícula em um anel é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck reduzida ( ), -
é o número quântico associado ao momento angular, -
é o momento de inércia da partícula.
Passo 3
O momento de inércia
para uma partícula de massa
em um anel de raio
é:
Vamos calcular
com os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia para
e
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
A diferença de energia
entre os níveis
e
é:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos analisar a parte b) da questão: “O diagrama de energia deste problema apresenta estados degenerados? Discuta.” Aqui, vamos usar conceitos de degenerescência dos estados energéticos na Mecânica Quântica.
Passo 7
Estados são ditos degenerados quando diferentes estados quânticos compartilham a mesma energia. No caso de uma partícula em um anel, a energia depende unicamente do número quântico
, que representa o momento angular.
Passo 8
Observamos que a energia
depende apenas de
. Portanto, para
e
, a energia é a mesma:
Isso significa que para cada valor positivo de
, existe um valor negativo correspondente que tem a mesma energia.
Passo 9
No caso específico:
- Para
, há um único estado. - Para
e , os estados são degenerados.
Passo 10
Agora, vamos resolver a parte c): “Mostre que as funções de onda que representam os estados
e
são ortogonais.” Isso envolve conceitos de ortogonalidade de funções de onda na Mecânica Quântica.
Passo 11
Funções de onda são ortogonais se o seu produto interno for zero. Para o anel, as funções de onda são do tipo:
Onde
é o ângulo ao longo do anel.
Passo 12
Vamos calcular o produto interno entre
e
:
Substituindo as funções:
Passo 13
Calculando a integral:
Portanto:
Resposta
As funções de onda para
e
são ortogonais, já que seu produto interno é igual a zero.