Questão. Considere o estado fundamental do oscilador harmônico. Qual o valor médio da posição? Esse resultado é esperado? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é o valor médio da posição no estado fundamental do oscilador harmônico. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, onde trabalhamos com operadores e funções de onda. Para resolver, vamos precisar calcular o valor esperado da posição usando a função de onda do estado fundamental.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico. Ela é dada por:
Aqui,
é a massa,
é a frequência angular, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
O valor médio da posição
é calculado usando a fórmula:
Como a função de onda
é real, podemos simplificar para:
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Observamos que a função
é uma função ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, mas com sinais opostos nos lados positivos e negativos.
Passo 5
Ao integrar uma função ímpar sobre um intervalo simétrico como de
a
, o resultado é zero. Portanto:
Resposta
O valor médio da posição no estado fundamental do oscilador harmônico é zero. Esse resultado é esperado porque a função de onda é simétrica em torno da origem, fazendo com que as contribuições positivas e negativas se cancelem.