Questão. Considere o estado fundamental do oscilador harmônico. Qual o valor médio da posição? Esse resultado é esperado? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é o valor médio da posição no estado fundamental do oscilador harmônico. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, onde trabalhamos com operadores e funções de onda. Para resolver, vamos precisar calcular o valor esperado da posição usando a função de onda do estado fundamental.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico. Ela é dada por:
psi0(x) = ( momegapi hbar )^1/4 e^-momega x^22hbar
Aqui, é a massa, é a frequência angular, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

O valor médio da posição lang<= x rang<= = integral-infty^+infty psi0^*(x) , x , psi0(x) , dx é calculado usando a fórmula:
lang<= x rang<= = integral-infty^+infty psi0(x) , x , psi0(x) , dx
Como a função de onda é real, podemos simplificar para:

Passo 4

Substituindo lang<= x rang<= = ( momegapi hbar )^1/2 integral-infty^+infty x , e^-momega x^2hbar , dx na integral, temos:
Observamos que a função é uma função ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, mas com sinais opostos nos lados positivos e negativos.

Passo 5

Ao integrar uma função ímpar sobre um intervalo simétrico como de lang<= x rang<= = 0 a , o resultado é zero. Portanto:

Resposta

O valor médio da posição no estado fundamental do oscilador harmônico é zero. Esse resultado é esperado porque a função de onda é simétrica em torno da origem, fazendo com que as contribuições positivas e negativas se cancelem.

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