(2,5) QUESTÃO 2: Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( ). Em certo instante a posição (medida a partir da posição de equilibrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são e . Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e © a amplitude do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um sistema massa-mola onde a constante da mola é . Em um certo instante , sabemos a posição , a velocidade e a aceleração do bloco. Precisamos calcular:
a) A frequência de oscilação,
b) A massa do bloco,
c) A amplitude do movimento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), que descreve o movimento de sistemas como massa-mola.

Passo 2

Vamos começar pela frequência de oscilação. No MHS, a frequência está relacionada à constante da mola e à massa pela fórmula:
Mas, no caso, ainda não sabemos a massa . Para encontrar , precisamos primeiro determinar , então vamos pular para o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa do bloco. No MHS, a aceleração está relacionada à posição e à constante da mola pela segunda lei de Newton:
Podemos rearranjar essa equação para resolver :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a massa , podemos voltar para a fórmula da frequência :

Passo 5

Vamos calcular agora a amplitude do movimento. No MHS, a amplitude pode ser encontrada usando a relação entre posição, velocidade e aceleração máxima. A velocidade máxima e a amplitude estão relacionadas por:
Onde . Mas, como já temos a velocidade em um instante específico, vamos usar a energia total do sistema:
A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Como no MHS a energia total é constante e igual à energia máxima (quando ), podemos igualar:
Simplificando:
Substituindo os valores:

Resposta

a) A frequência de oscilação é aproximadamente .
b) A massa do bloco é .
c) A amplitude do movimento é .

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Seja
b. Determine o menor inteiro positivo tal que é positivo.