(2,5) QUESTÃO 2: Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( k=400 N / m ). Em certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilibrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x=0,150 m, v=-13,6 m / s e a=-123 m / s^2. Calcule (a) a frequência f de oscilação, (b) a massa do bloco e © a amplitude do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um sistema massa-mola onde a constante da mola é . Em um certo instante , sabemos a posição , a velocidade e a aceleração do bloco. Precisamos calcular:
a) A frequência de oscilação,
b) A massa do bloco,
c) A amplitude do movimento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), que descreve o movimento de sistemas como massa-mola.

Passo 2

Vamos começar pela frequência f = 12pi raizkm de oscilação. No MHS, a frequência está relacionada à constante da mola e à massa pela fórmula:
Mas, no caso, ainda não sabemos a massa . Para encontrar , precisamos primeiro determinar , então vamos pular para o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa a = -km x do bloco. No MHS, a aceleração m = -k xa está relacionada à posição m = -400 , N/m times 0,150 , m-123 , m/s^2 = 60123 approx 0,4878 , kg e à constante da mola pela segunda lei de Newton:
Podemos rearranjar essa equação para resolver :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a massa f = 12pi raizkm = 12pi raiz4000,4878 approx 16,2832 times raiz819,4 approx 16,2832 times 28,62 approx 4,56 , Hz , podemos voltar para a fórmula da frequência :

Passo 5

Vamos calcular agora a amplitude vmax = A omega do movimento. No MHS, a amplitude pode ser encontrada usando a relação entre posição, velocidade e aceleração máxima. A velocidade máxima E = 12 m v^2 + 12 k x^2 e a amplitude 12 k A^2 = 12 m v^2 + 12 k x^2 estão relacionadas por:
k A^2 = m v^2 + k x^2 implies A = raizx^2 + m v^2k
Onde A = raiz(0,150)^2 + 0,4878 times (-13,6)^2400 approx raiz0,0225 + 0,4878 times 184,96400 approx raiz0,0225 + 90,21400 approx raiz0,0225 + 0,2255 approx raiz0,248 approx 0,498 , m . Mas, como já temos a velocidade em um instante específico, vamos usar a energia total do sistema:
A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Como no MHS a energia total é constante e igual à energia máxima (quando ), podemos igualar:
Simplificando:
Substituindo os valores:

Resposta

a) A frequência de oscilação é aproximadamente .
b) A massa do bloco é .
c) A amplitude do movimento é .

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