Seja
b. Determine o menor
inteiro positivo tal que
é positivo.
b. Determine o menor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo e precisa descobrir o menor número inteiro positivo
que, quando a gente elevar
à potência
, o resultado vai ser um número positivo real. Para resolver isso, vamos usar a Teorema de De Moivre, que ajuda a trabalhar com potências de números complexos escritos na forma trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Teorema de De Moivre. Ele diz que:
onde ,
é o módulo de
, e
é o argumento de
.
Passo 3
No nosso caso, , então:
Aplicando o Teorema de De Moivre:
Passo 4
Queremos que
seja um número real positivo. Isso acontece quando a parte imaginária é zero e a parte real é positiva. Ou seja:
e
Passo 5
Primeiro, vamos resolver . Sabemos que o seno é zero quando o argumento é múltiplo de
:
Simplificando:
Como
deve ser inteiro,
precisa ser divisível por
. O menor valor de
tal que isso acontece é
:
Passo 6
Agora, verifica se para
, a parte real é positiva:
Isso é negativo, então precisamos do próximo múltiplo onde o cosseno seja positivo.
Passo 7
Vamos tentar
:
Verificando:
Agora sim, é positivo!
Resposta
O menor número inteiro positivo
que satisfaz
ser positivo é
.