Seja z=4(cos 5 pi21+i sen 5 pi21)
b. Determine o menor n inteiro positivo tal que z^n é positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo e precisa descobrir o menor número inteiro positivo que, quando a gente elevar à potência , o resultado vai ser um número positivo real. Para resolver isso, vamos usar a Teorema de De Moivre, que ajuda a trabalhar com potências de números complexos escritos na forma trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Teorema de De Moivre. Ele diz que:
onde , z^n = r^n ( cos(ntheta) + i sen(ntheta) ) é o módulo de , e é o argumento de .

Passo 3

No nosso caso, , então:
  • z^n = 4^n ( cos(n cdot 5pi21) + i sen(n cdot 5pi21) )
Aplicando o Teorema de De Moivre:

Passo 4

Queremos que sen(n cdot 5pi21) = 0 seja um número real positivo. Isso acontece quando a parte imaginária é zero e a parte real é positiva. Ou seja:
e
cos(n cdot 5pi21) > 0

Passo 5

Primeiro, vamos resolver . Sabemos que o seno é zero quando o argumento é múltiplo de n cdot 5pi21 = kpi onde k é inteiro :
n = 21k5 é
Simplificando:
n = 21 cdot 55 = 21
Como deve ser inteiro, precisa ser divisível por . O menor valor de tal que isso acontece é :

Passo 6

Agora, verifica se para cos(21 cdot 5pi21) = cos(5pi) = cos(pi) = -1 , a parte real é positiva:
Isso é negativo, então precisamos do próximo múltiplo onde o cosseno seja positivo.

Passo 7

Vamos tentar n = 21 cdot 105 = 42 :
cos(42 cdot 5pi21) = cos(10pi) = cos(0) = 1
Verificando:
Agora sim, é positivo!

Resposta

O menor número inteiro positivo que satisfaz ser positivo é .

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