Questão (pág 296, n * 18 )
Um fazendeiro quer cercar com um lote retangular de terra de 1.500.000 pés quadrados e dividi-lo em três lotes menores com cercas paralelas a um lado do retângulo. A cerca para o lado do lote que fica ao longo da estrada custa $ 6 por pé, mas a cerca para os outros três lados custa apenas $ 2 por pé. Encontre as dimensões do lote que minimizarão o custo total da cerca.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fazendeiro que quer cercar um lote retangular de terra com uma área de 1.500.000 pés quadrados. Ele quer dividir esse lote em três lotes menores usando cercas que são paralelas a um dos lados do retângulo. A cerca que fica ao longo da estrada custa $6 por pé, enquanto as outras cercas custam $2 por pé. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do lote que minimizem o custo total da cerca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo, especialmente derivadas para encontrar o mínimo do custo.

Passo 2

Vamos chamar o comprimento do lote ao longo da estrada de pés e a largura perpendicular à estrada de pés. Sabemos que a área do retângulo é pés quadrados. Esse é o nosso primeiro ponto: temos uma equação que relaciona e .

Passo 3

Agora, vamos pensar nas cercas. A cerca ao longo da estrada é de comprimento e custa $6 por pé. As outras cercas são:
  • Duas cercas nas laterais do lote, cada uma de comprimento , custando $2 por pé.
  • Como o lote é dividido em três partes por cercas paralelas ao lado da estrada, precisamos de duas cercas adicionais, também de comprimento , custando $2 por pé cada.
Portanto, o custo total das cercas será:

Passo 4

Mas temos uma relação entre e pela área: . Podemos usar essa equação para expressar em termos de :
Agora, substituímos essa expressão de na fórmula do custo total para termos o custo apenas em função de :

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza o custo total, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
é

Passo 6

Agora que temos pés, podemos encontrar usando a relação da área:
é

Resposta

As dimensões do lote que minimizam o custo total da cerca são aproximadamente 774,6 pés de comprimento ao longo da estrada e 1.936,5 pés de largura perpendicular à estrada.

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a) A que velocidade a distância dele da segunda base diminui quando ele está a 30 pés da primeira base?
b) A que taxa a distância da terceira base aumenta no mesmo momento?
Calcule os limites das funções abaixo: lim x 3 x^2-7 x+12x-3
Calcule os limites das funções abaixo: lim x 2 x^5-32x-2