Calcule os limites das funções abaixo: lim x 2 x^5-32x-2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função x^5-32x-2 quando x se aproxima de 2. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente fatoração de polinômios e simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que, se tentarmos substituir x = 2 diretamente na função, teremos:
2^5 - 322 - 2 = 32 - 320 = 00
Esse é um caso indeterminado, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

A forma de resolver é fatorar o numerador x^5 - 32. Sabemos que 32 é igual a 2^5, então a expressão se parece com uma diferença de potências: a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4).

Passo 4

Aplicando a fórmula de diferença de potências com a = x e b = 2, temos:
x^5 - 32 = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)

Passo 5

Agora, substituímos a fatoração na expressão do limite:
limx 2 (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)x - 2

Passo 6

Podemos simplificar a expressão cancelando o termo (x - 2) no numerador e denominador:
limx 2 (x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)

Passo 7

Agora que a expressão foi simplificada, podemos substituir x por 2 diretamente:
2^4 + 2 cdot 2^3 + 4 cdot 2^2 + 8 cdot 2 + 16 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Resposta

O limite da função é 80.

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