Questão. Uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento a é descrita por um estado estacionário de nível . Qual a probabilidade de localizar a partícula na região entre 0 e a/4. Mostre que essa probabilidade depende de n e calcule para e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula em uma caixa unidimensional, também conhecida como “caixa quântica”. A questão pede para calcular a probabilidade de encontrar a partícula na região entre e para os estados estacionários de nível , e . Para isso, vamos usar conceitos de funções de onda e densidade de probabilidade da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a função de onda para uma partícula em uma caixa de comprimento no nível é dada por:
Essa função de onda nos dá a amplitude de probabilidade da partícula estar em um ponto dentro da caixa.
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula numa certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda nessa região. Ou seja, a probabilidade de encontrar a partícula entre e é:
Substituindo :
Passo 4
Vamos resolver a integral , onde . Usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 5
Calculando as integrais:
E
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da probabilidade: