Questão. Uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento a é descrita por um estado estacionário de nível n. Qual a probabilidade de localizar a partícula na região entre 0 e a/4. Mostre que essa probabilidade depende de n e calcule para n=1, n=2 e n=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula em uma caixa unidimensional, também conhecida como “caixa quântica”. A questão pede para calcular a probabilidade de encontrar a partícula na região entre e para os estados estacionários de nível , e . Para isso, vamos usar conceitos de funções de onda e densidade de probabilidade da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função de onda psin(x) = raiz2a sin(npi xa) para uma partícula em uma caixa de comprimento no nível é dada por:
Essa função de onda nos dá a amplitude de probabilidade da partícula estar em um ponto dentro da caixa.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula numa certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda nessa região. Ou seja, a probabilidade P = integral0^a4 |psin(x)|^2 dx de encontrar a partícula entre P = integral0^a4 (raiz2a sin(npi xa))^2 dx = 2a integral0^a4 sin^2(npi xa) dx e é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a integral sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2 , onde 2a integral0^a4 1 - cos(2npi xa)2 dx = 1a [ integral0^a4 1 dx - integral0^a4 cos(2npi xa) dx ] . Usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^a4 1 dx = a4
E
integral0^a4 cos(2npi xa) dx = a2npi sin(2npi xa) |0^a4 = a2npi sin(npi2)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
P = 1a ( a4 - a2npi sin(npi2) ) = 14 - 12npi sin(npi2)

Passo 7

Agora, vamos calcular essa probabilidade para P1 = 14 - 12pi sin(pi2) = 14 - 12pi(1) = 14 - 12pi approx 0,25 - 0,159 = 0,091 , P2 = 14 - 14pi sin(pi) = 14 - 14pi(0) = 14 = 0,25 e P3 = 14 - 16pi sin(3pi2) = 14 - 16pi(-1) = 14 + 16pi approx 0,25 + 0,053 = 0,303 .
Para :
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Para :

Resposta

A probabilidade de localizar a partícula na região entre e depende do nível quântico e é aproximadamente:
  • Para :
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