Questão. Calcule o comprimento de onda do fóton emitido quando uma partícula de massa
, em uma caixa de comprimento
, sofre transição de
para
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
gramas, confinada em uma caixa com comprimento de
(angstroms). Essa partícula faz a transição de um estado quântico
para
. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento de onda do fóton que é emitido durante essa transição.
Para resolver isso, vamos precisar entender os níveis de energia de uma partícula em uma caixa e como calcular a energia liberada na transição, que está relacionada ao comprimento de onda do fóton emitido.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
-
Massa da partícula:
-
Comprimento da caixa:
Passo 3
Em uma caixa unidimensional, as energias permitidas para a partícula são determinadas pela fórmula:
Onde:
-
é a energia do estado , -
é a constante de Planck ( ), -
é a massa da partícula, -
é o comprimento da caixa, -
é o número quântico principal.
Passo 4
Vamos calcular as energias dos estados
e
usando a fórmula acima.
Para
:
Para
:
Passo 5
A energia do fóton emitido durante a transição é a diferença entre as energias dos níveis inicial e final:
Passo 6
Sabemos que a energia do fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela equação de Planck:
Onde:
-
é a velocidade da luz ( ), -
é o comprimento de onda do fóton.
Para encontrar
, rearranjamos a fórmula:
Resposta
Após realizar os cálculos, o comprimento de onda do fóton emitido nessa transição é aproximadamente
metros, ou seja, 145 nanômetros (nm).