Questão. Considere a partícula na caixa 2D, para a qual a função de onda é dada por:
Psi(x, y)=(2a)^1 / 2(2b)^1 / 2 sin (nx pia x) sin (ny pib y)
a) Mostre que essa função está normalizada.
b) Mostre que as funções Psimx, my e Psinx, ny( m neq n ) são ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula confinada em uma caixa bidimensional, e a função de onda que descreve o estado dessa partícula é dada. Precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que essa função está normalizada.
b) Mostrar que duas funções de onda diferentes são ortogonais.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à normalização e ortogonalidade das funções de onda. Vamos precisar integrar as funções sobre toda a área da caixa e aplicar as propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Parte a): Normalização da função de onda
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda estar normalizada. Isso quer dizer que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre toda a área deve ser igual a 1. Matematicamente:
integral0^a integral0^b |Psi(x, y)|^2 , dx , dy = 1
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando o módulo ao quadrado da função de onda:
|Psi(x, y)|^2 = (2a) (2b) sin^2(nx pia x) sin^2(ny pib y)

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre integral0^a integral0^b (4ab) sin^2(nx pia x) sin^2(ny pib y) , dy , dx de 0 a e sobre de 0 a :

Passo 5

As integrais de integral0^L sin^2(n piL xi) dxi = L2 sobre um período são conhecidas:
4ab cdot a2 cdot b2 = 4ab cdot ab4 = 1
Aplicando isso às integrais de e :

Passo 6

Então, chegamos a:
integral0^a integral0^b |Psi(x, y)|^2 , dx , dy = 1
Isso confirma que a função de onda está normalizada.

Passo 7

Parte b): Ortogonalidade das funções de onda
Agora, queremos mostrar que duas funções de onda diferentes integral0^a integral0^b Psimx, my^*(x, y) Psinx, ny(x, y) , dx , dy = 0 e com são ortogonais. Ou seja:

Passo 8

Substituindo as funções de onda:
integral0^a integral0^b (2a)^1/2 (2b)^1/2 sin(mx pia x) sin(my pib y) cdot (2a)^1/2 (2b)^1/2 sin(nx pia x) sin(ny pib y) , dy , dx
Simplificando os coeficientes:
4ab integral0^a sin(mx pia x) sin(nx pia x) dx cdot integral0^b sin(my pib y) sin(ny pib y) dy

Passo 9

Sabemos que:
integral0^L sin(m piL xi) sin(n piL xi) dxi = 0 & se m neq n L2 & se m = n
Como , ambas as integrais serão zero.

Passo 10

Portanto:
4ab cdot 0 cdot 0 = 0
Isso mostra que as funções de onda são ortogonais quando .

Resposta

a) A função de onda está normalizada, pois a integral do seu módulo ao quadrado sobre toda a área da caixa é igual a 1.
b) As funções de onda e são ortogonais quando , pois a integral do produto delas sobre toda a área da caixa é igual a 0.

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