Questão. Considere a partícula na caixa 2D, para a qual a função de onda é dada por:
a) Mostre que essa função está normalizada.
b) Mostre que as funções
e
) são ortogonais.
b) Mostre que as funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula confinada em uma caixa bidimensional, e a função de onda que descreve o estado dessa partícula é dada. Precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que essa função está normalizada.
b) Mostrar que duas funções de onda diferentes são ortogonais.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à normalização e ortogonalidade das funções de onda. Vamos precisar integrar as funções sobre toda a área da caixa e aplicar as propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Parte a): Normalização da função de onda
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda estar normalizada. Isso quer dizer que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre toda a área deve ser igual a 1. Matematicamente:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos começar calculando o módulo ao quadrado da função de onda:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão sobre
de 0 a
e sobre
de 0 a
:
Passo 5
As integrais de
sobre um período são conhecidas:
Aplicando isso às integrais de
e
:
Passo 6
Então, chegamos a:
Isso confirma que a função de onda está normalizada.
Passo 7
Parte b): Ortogonalidade das funções de onda
Agora, queremos mostrar que duas funções de onda diferentes
e
com
são ortogonais. Ou seja:
Passo 8
Substituindo as funções de onda:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Sabemos que:
Como
, ambas as integrais serão zero.
Passo 10
Portanto:
Isso mostra que as funções de onda são ortogonais quando
.
Resposta
a) A função de onda
está normalizada, pois a integral do seu módulo ao quadrado sobre toda a área da caixa é igual a 1.
b) As funções de onda
e
são ortogonais quando
, pois a integral do produto delas sobre toda a área da caixa é igual a 0.