Questão
pontos): Faça o que se pede:
(a) use o método de coeficientes indeterminados para resolver a EDO
(a) use o método de coeficientes indeterminados para resolver a EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como esse método funciona para achar a solução geral dessa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo
. A equação homogênea associada é:
Isso nos ajudará a encontrar a solução complementar, que será parte da solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, precisamos achar as raízes da equação característica. A equação característica para
é:
Vamos resolver esse polinômio de segundo grau para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, assumimos uma forma para
baseada nisso. Geralmente, tentamos algo parecido com o que está no lado direito. Então, vamos supor:
Onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Isso deve ser igual a
, então:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: