2^a Questão 4,0 pontos): Faça o que se pede:
(a) use o método de coeficientes indeterminados para resolver a EDO
y'' + 2y' + y = -t e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como esse método funciona para achar a solução geral dessa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo . A equação homogênea associada é:
Isso nos ajudará a encontrar a solução complementar, que será parte da solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, precisamos achar as raízes da equação característica. A equação característica para é:
Vamos resolver esse polinômio de segundo grau para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , assumimos uma forma para baseada nisso. Geralmente, tentamos algo parecido com o que está no lado direito. Então, vamos supor:
Onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso deve ser igual a , então:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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