Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a restrição
. Para isso, vamos usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa para otimizar funções com restrições. Basicamente, ela ajuda a encontrar os pontos onde a função
atinge seus extremos enquanto respeita a condição imposta pela restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Quando queremos otimizar uma função
sujeita a uma restrição
, a ideia é encontrar onde o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Matemáticamente, isso se traduz na equação:
onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar as nossas funções
e
:
Agora, calculamos os gradientes delas:
Passo 4
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange
, temos:
Além disso, não podemos esquecer da restrição:
Passo 5
Vamos analisar a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo
na equação (3):
Agora, usando a equação (2):
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos candidatos:
Passo 7
Caso 2:
Substituindo
na equação (2):
Agora, substituindo
na restrição (3):
Então, temos mais dois pontos candidatos:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
em cada um desses pontos para determinar qual é o máximo e qual é o mínimo.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Comparando os valores obtidos:
Então, o valor mínimo de
é
no ponto
e o valor máximo de
é
nos pontos
e
.
Resposta
O valor mínimo de
é
no ponto
e o valor máximo de
é
nos pontos
e
.