Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
f(x, y) = x^2 - y ; x^2 + y^2 = 25

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função sob a restrição . Para isso, vamos usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa para otimizar funções com restrições. Basicamente, ela ajuda a encontrar os pontos onde a função atinge seus extremos enquanto respeita a condição imposta pela restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Quando queremos otimizar uma função sujeita a uma restrição , a ideia é encontrar onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Matemáticamente, isso se traduz na equação:
onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar as nossas funções e :
Agora, calculamos os gradientes delas:

Passo 4

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange , temos:
Além disso, não podemos esquecer da restrição:

Passo 5

Vamos analisar a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente.

Passo 6

Caso 1:
Substituindo na equação (3):
Agora, usando a equação (2):
Para :
Para :
Então, temos dois pontos candidatos:

Passo 7

Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo na restrição (3):
Então, temos mais dois pontos candidatos:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de em cada um desses pontos para determinar qual é o máximo e qual é o mínimo.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Comparando os valores obtidos:
Então, o valor mínimo de é no ponto e o valor máximo de é nos pontos e .

Resposta

O valor mínimo de é no ponto e o valor máximo de é nos pontos e .

Exercícios relacionados