Questão 3 ( 3,0 Pontos) - Uma gráfica consegue imprimir em média 4 pedidos por turno, seguindo um processo de Poisson. Sabe-se que a fila de pedidos aguardando para serem atendidos no início de um dado turno é de 4 pedidos. Considerando que o turno dure 4 horas, das 14 às 18 horas, responda:
c) Qual a probabilidade de todos ós pedidos serem concluídos até o final do turno?

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma gráfica que imprime em média 4 pedidos por turno, seguindo um processo de Poisson. No início do turno, já tem 4 pedidos na fila. O turno dura 4 horas, das 14 às 18 horas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de todos os pedidos serem concluídos até o final do turno. Vamos usar a teoria de processos de Poisson para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo de Poisson. Ele nos ajuda a modelar a ocorrência de eventos que acontecem de forma aleatória ao longo do tempo, como chegadas de pedidos. A média de pedidos que chegam por turno é 4, então nosso parâmetro λ (lambda) é 4.

Passo 3

Como já temos 4 pedidos na fila no início, precisamos que durante o turno essas 4 ordens sejam concluídas. Como a média de pedidos que a gráfica consegue imprimir é 4 por turno, estamos buscando a probabilidade de que o número total de pedidos não exceda a capacidade de impressão.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ter até 4 pedidos no turno. A fórmula é:
onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
  • é a média de eventos (neste caso, 4),
  • é a base do logaritmo natural,
  • é o fatorial de k.

Passo 5

Como queremos a probabilidade de não exceder 4 pedidos, vamos calcular a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 e 4 pedidos:

Passo 6

Vamos calcular cada termo:

Passo 7

Somando todas as probabilidades:

Passo 8

Calculando o valor numérico:
Sabemos que
Então:

Resposta

A probabilidade de todos os pedidos serem concluídos até o final do turno é de aproximadamente 62,7%.

Exercícios relacionados