Resolva a equação diferencial, verificando qual de funções mu1(x, y) ou mu2(x, y) seja uma fator integrante:
(-x y sen x + 2 y cos x) dx + 2 x cos x dy = 0
As propostas funções são: μ1(x, y) = y sen(x), μ2(x, y) = x y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de equação diferencial que você me enviou. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Para isso, vamos verificar qual das funções dadas, ou , serve como fator integrante. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Vamos precisar revisar o que torna uma equação exata e como aplicar esses fatores para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se existe uma função F(x, y) tal que:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de M e N e verificamos se elas são iguais:
Se , então a equação é exata. Se não for exata, podemos procurar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação original por ele, torna a equação exata.

Passo 3

Vamos identificar M(x, y) e N(x, y) na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Vamos ver se elas são iguais:
Claramente, , então a equação não é exata. Precisamos procurar um fator integrante.

Passo 4

As opções de fatores integrantes que temos são:
Vamos testar cada um para ver qual deles torna a equação exata.

Passo 5

Testando :
Multiplicamos a equação original por :
Calculando e :
Agora, verificamos se a equação multiplicada é exata:
Calculando as derivadas parciais:
As derivadas não são iguais, então mu1(x, y) não é um fator integrante válido.

Passo 6

Testando :
Multiplicamos a equação original por :
Calculando e :
Agora, verificamos se a equação multiplicada é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Comparando as duas derivadas:
Percebemos que elas são iguais, então é um fator integrante válido.

Passo 7

Agora que temos o fator integrante , multiplicamos a equação original por ele:
Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
Vamos integrar em relação a x para encontrar F(x, y):
Vamos resolver as integrais separadamente usando a técnica de integração por partes.

Passo 8

Primeiro, calculamos :
Usando integração por partes, onde e :
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, calculamos novamente por partes, com e :
Aplicando a integração por partes:
Substituindo de volta:
Agora, retornamos ao cálculo de F(x, y):

Passo 9

Para encontrar , derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar na solução final.

Passo 10

Finalmente, temos a função potencial:
A solução geral da equação diferencial é :
Onde K é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante.

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