Resolva a equação diferencial, verificando qual de funções mu1(x, y) ou mu2(x, y) seja uma fator integrante:
y = sen(x^2)
As propostas funções são: y = sen(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de equação diferencial que você me enviou. A gente precisa resolver a equação diferencial:
y = sen(x^2)
Para isso, vamos verificar qual das funções dadas, y = sen(x^2) ou , serve como fator integrante. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Vamos precisar revisar o que torna uma equação exata e como aplicar esses fatores para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
y = sen(x^2)
é exata se existe uma função y = sen(x^2) tal que:
F(x, y)
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de y = sen(x^2) e y = sen(x^2) e verificamos se elas são iguais:
M
Se N, então a equação é exata. Se não for exata, podemos procurar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação original por ele, torna a equação exata.

Passo 3

Vamos identificar M(x, y) e N(x, y) na nossa equação:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Vamos ver se elas são iguais:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Claramente, y = sen(x^2), então a equação não é exata. Precisamos procurar um fator integrante.

Passo 4

As opções de fatores integrantes que temos são:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Vamos testar cada um para ver qual deles torna a equação exata.

Passo 5

Testando :
Multiplicamos a equação original por :
y = sen(x^2)
Calculando y = sen(x^2) e :
y = sen(x^2)
Agora, verificamos se a equação multiplicada é exata:
Calculando as derivadas parciais:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
As derivadas não são iguais, então y = sen(x^2) não é um fator integrante válido.

Passo 6

Testando :
Multiplicamos a equação original por :
y = sen(x^2)
Calculando y = sen(x^2) e :
y = sen(x^2)
Agora, verificamos se a equação multiplicada é exata:
Calculando as derivadas parciais:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Comparando as duas derivadas:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Percebemos que elas são iguais, então y = sen(x^2) é um fator integrante válido.

Passo 7

Agora que temos o fator integrante , multiplicamos a equação original por ele:
y = sen(x^2)
Como a equação é exata, existe uma função y = sen(x^2) tal que:
F(x, y)
Vamos integrar y = sen(x^2) em relação a y = sen(x^2) para encontrar :
x
Vamos resolver as integrais separadamente usando a técnica de integração por partes.

Passo 8

Primeiro, calculamos :
Usando integração por partes, onde e :
y = sen(x^2)
Aplicando a fórmula de integração por partes:
y = sen(x^2)
Agora, calculamos novamente por partes, com e :
y = sen(x^2)
Aplicando a integração por partes:
y = sen(x^2)
Substituindo de volta:
y = sen(x^2)
Agora, retornamos ao cálculo de y = sen(x^2):
F(x, y)

Passo 9

Para encontrar , derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a :
y = sen(x^2)
Isso implica que y = sen(x^2), então é uma constante. Podemos ignorar na solução final.

Passo 10

Finalmente, temos a função potencial:
y = sen(x^2)
A solução geral da equação diferencial é y = sen(x^2):
Onde y = sen(x^2) é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante.

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153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z” transform=“translate(944,0)”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(7963.7,0)”><path data-c=“2061” d=””></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(7963.7,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(8352.7,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 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</body></html>
Questão 3 ( 3,0 Pontos) - Uma gráfica consegue imprimir em média 4 pedidos por turno, seguindo um processo de Poisson. Sabe-se que a fila de pedidos aguardando para serem atendidos no início de um dado turno é de 4 pedidos. Considerando que o turno dure 4 horas, das 14 às 18 horas, responda:
c) Qual a probabilidade de todos ós pedidos serem concluídos até o final do turno?
<html><head></head><body><div>Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.149ex;” xmlns=“
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