Resolva a equação diferencial, verificando qual de funções
ou
seja uma fator integrante:
As propostas funções são:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de equação diferencial que você me enviou. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Para isso, vamos verificar qual das funções dadas,
ou
, serve como fator integrante. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Vamos precisar revisar o que torna uma equação exata e como aplicar esses fatores para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se existe uma função
tal que:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
e
e verificamos se elas são iguais:
Se
, então a equação é exata. Se não for exata, podemos procurar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação original por ele, torna a equação exata.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Vamos ver se elas são iguais:
Claramente,
, então a equação não é exata. Precisamos procurar um fator integrante.
Passo 4
As opções de fatores integrantes que temos são:
Vamos testar cada um para ver qual deles torna a equação exata.
Passo 5
Testando
:
Multiplicamos a equação original por
:
Calculando
e
:
Agora, verificamos se a equação multiplicada é exata:
Calculando as derivadas parciais:
As derivadas não são iguais, então
não é um fator integrante válido.
Passo 6
Testando
:
Multiplicamos a equação original por
:
Calculando
e
:
Agora, verificamos se a equação multiplicada é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Comparando as duas derivadas:
Percebemos que elas são iguais, então
é um fator integrante válido.
Passo 7
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos a equação original por ele:
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Vamos resolver as integrais separadamente usando a técnica de integração por partes.
Passo 8
Primeiro, calculamos
:
Usando integração por partes, onde
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, calculamos
novamente por partes, com
e
:
Aplicando a integração por partes:
Substituindo de volta:
Agora, retornamos ao cálculo de
:
Passo 9
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar
na solução final.
Passo 10
Finalmente, temos a função potencial:
A solução geral da equação diferencial é
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.