QUESTÃO Prove que qualquer intervalo fechado
é equipotente a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa entender aqui é o que significa dizer que dois conjuntos são equipotentes. Equipotentes quer dizer que eles têm a mesma “tamanho” no sentido de cardinalidade, ou seja, a mesma quantidade de elementos. No nosso caso, queremos provar que o intervalo fechado
tem a mesma cardinalidade que todo o conjunto dos números reais
.
Passo 2
Para mostrar que
é equipotente a
, precisamos encontrar uma função que vai do intervalo
para
que seja uma bijeção. Isso significa que cada número em
corresponde a exatamente um número em
e vice-versa.
Passo 3
Uma maneira de fazer isso é usar a função tangente hiperbólica, que é uma função contínua e estritamente crescente que mapeia o intervalo
para
. Mas como nosso intervalo é
, a gente precisa ajustar essa função para se adequar ao nosso intervalo específico.
Passo 4
Vamos construir uma função
. Primeiro, fazemos uma mudança de variável para transformar
em
. Suponha que
e
, para simplificar. Então, definimos:
Essa função mapeia
para
de forma bijetiva. Como
é fechado, a gente estende essa função para incluir os pontos
e
, sabendo que a tangente tende a
e
nesses extremos, garantindo assim a bijetividade.
Passo 5
Agora, é só confirmar que
é injetora (cada
tem um único
) e sobrejetora (todo
tem pelo menos um
que mapeia para ele). Como essas duas propriedades são satisfeitas, a função
é uma bijeção.
Resposta
Portanto, mostramos que existe uma bijeção entre
e
, o que prova que qualquer intervalo fechado
é equipotente a
.