QUESTÃO Prove que qualquer intervalo fechado [a, b] é equipotente a R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa entender aqui é o que significa dizer que dois conjuntos são equipotentes. Equipotentes quer dizer que eles têm a mesma “tamanho” no sentido de cardinalidade, ou seja, a mesma quantidade de elementos. No nosso caso, queremos provar que o intervalo fechado [a, b] tem a mesma cardinalidade que todo o conjunto dos números reais R.

Passo 2

Para mostrar que [a, b] é equipotente a R, precisamos encontrar uma função que vai do intervalo [a, b] para R que seja uma bijeção. Isso significa que cada número em [a, b] corresponde a exatamente um número em R e vice-versa.

Passo 3

Uma maneira de fazer isso é usar a função tangente hiperbólica, que é uma função contínua e estritamente crescente que mapeia o intervalo para R. Mas como nosso intervalo é [a, b], a gente precisa ajustar essa função para se adequar ao nosso intervalo específico.

Passo 4

Vamos construir uma função . Primeiro, fazemos uma mudança de variável para transformar [a, b] em . Suponha que e , para simplificar. Então, definimos:
Essa função mapeia para R de forma bijetiva. Como [a, b] é fechado, a gente estende essa função para incluir os pontos a e b, sabendo que a tangente tende a -infinito e +infinito nesses extremos, garantindo assim a bijetividade.

Passo 5

Agora, é só confirmar que phi é injetora (cada x tem um único phi(x)) e sobrejetora (todo y in R tem pelo menos um que mapeia para ele). Como essas duas propriedades são satisfeitas, a função phi é uma bijeção.

Resposta

Portanto, mostramos que existe uma bijeção entre [a, b] e R, o que prova que qualquer intervalo fechado [a, b] é equipotente a R.

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