Sejam os vetores
e
de
, e a função
:
Verifique se
é um produto interno;
Verifique se
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: temos dois vetores
e
no espaço
. A função que estamos analisando é:
A tarefa é verificar se essa função
é um produto interno. Para isso, vamos precisar entender o que define um produto interno e verificar se
atende a todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno é uma função que associa dois vetores a um número real, satisfazendo quatro propriedades fundamentais:
- Comutatividade:
- Linearidade na primeira variável:
para quaisquer escalares e vetores - Simetria: Já é garantida pela comutatividade em espaços reais
- Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
dada.
Passo 3
1. Comutatividade
Vamos trocar
e
na função
:
Simplificando:
Isso é igual a
, então a função é comutativa.
Passo 4
2. Linearidade na primeira variável
Vamos verificar se
.
Primeiro, calculemos
. Seja
e
, então
.
Agora,
Distribuindo os termos:
Agora, vamos calcular
:
Somando
:
Comparando com
, vemos que eles são iguais. Portanto, a função é linear na primeira variável.
Passo 5
3. Simetria
Nossa função
já é comutativa, ou seja,
. Isso garante a simetria necessária para um produto interno em espaços reais.
Passo 6
4. Positividade
Vamos calcular
:
Podemos reescrever isso como:
Como
e
, temos que
.
Agora, verificamos quando
:
Isso só acontece se
e
. Se
, então
. Portanto,
somente quando
.
Resposta
Sim, a função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
. Portanto,
é um produto interno.