Sejam os vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2) de V=R^2, e a função f: V times V R :
Verifique se f(u, v)=2 x1 x2+x1 y2+x2 y1+y1 y2 é um produto interno;

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: temos dois vetores f(u, v) = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2 e no espaço . A função que estamos analisando é:
A tarefa é verificar se essa função é um produto interno. Para isso, vamos precisar entender o que define um produto interno e verificar se atende a todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno é uma função que associa dois vetores a um número real, satisfazendo quatro propriedades fundamentais:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade na primeira variável: para quaisquer escalares e vetores
  3. Simetria: Já é garantida pela comutatividade em espaços reais
  4. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Comutatividade
Vamos trocar f(v, u) = 2x2x1 + x2y1 + x1y2 + y2y1 e f(v, u) = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2 na função :
Simplificando:
Isso é igual a , então a função é comutativa.

Passo 4

2. Linearidade na primeira variável
Vamos verificar se f(au + bw, v) = 2(a x1 + b x3)x2 + (a x1 + b x3)y2 + x2(a y1 + b y3) + (a y1 + b y3)y2 .
Primeiro, calculemos = 2a x1x2 + 2b x3x2 + a x1y2 + b x3y2 + a x2y1 + b x2y3 + a y1y2 + b y3y2 . Seja a f(u, v) = a(2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2) = 2a x1x2 + a x1y2 + a x2y1 + a y1y2 e b f(w, v) = b(2x3x2 + x3y2 + x2y3 + y3y2) = 2b x3x2 + b x3y2 + b x2y3 + b y3y2 , então = 2a x1x2 + a x1y2 + a x2y1 + a y1y2 + 2b x3x2 + b x3y2 + b x2y3 + b y3y2 .
Agora,
Distribuindo os termos:
Agora, vamos calcular :
Somando :
Comparando com , vemos que eles são iguais. Portanto, a função é linear na primeira variável.

Passo 5

3. Simetria
Nossa função já é comutativa, ou seja, . Isso garante a simetria necessária para um produto interno em espaços reais.

Passo 6

4. Positividade
Vamos calcular f(u, u) = 2x1x1 + x1y1 + x1y1 + y1y1 = 2x1^2 + 2x1y1 + y1^2 :
f(u, u) = 2x1^2 + 2x1y1 + y1^2 = (x1 + y1)^2 + x1^2
Podemos reescrever isso como:
(x1 + y1)^2 + x1^2 = 0
Como e , temos que .
Agora, verificamos quando :
Isso só acontece se e . Se , então . Portanto, somente quando .

Resposta

Sim, a função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em . Portanto, é um produto interno.

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