Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real
. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma esfera com uma densidade de carga dada por
para
, onde
é o raio da esfera. Queremos encontrar a equação do potencial elétrico tanto dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
em um ponto é relacionado ao campo elétrico
pela relação
. Mas, para facilitar, vamos usar a expressão do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga, que é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é a densidade de carga no ponto
, e a integração é feita sobre todo o volume da carga.
Passo 3
Como a densidade de carga
depende apenas da distância ao centro
, e a esfera é simétrica, podemos simplificar a integral usando coordenadas esféricas. Além disso, para pontos fora da esfera (
), podemos tratar a esfera como uma carga pontual com carga total
, graças à simetria esférica.
Passo 4
Vamos calcular a carga total
dentro da esfera:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Calculando a integral:
Portanto,
Passo 6
Simplificando:
Então a carga total
é:
Passo 7
Agora, para
, o potencial elétrico é o de uma carga pontual:
Substituindo
:
Passo 8
Para
, precisamos calcular o potencial devido à distribuição de carga interna. Usando a simetria esférica, o campo elétrico dentro é:
Onde
é a carga dentro de um raio
:
Passo 9
Calculando
:
Simplificando e integrando:
Após integrar e ajustar as constantes, obtemos a expressão do potencial dentro da esfera.
Resposta
Dentro da esfera (
):
Fora da esfera (
):
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Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real
. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.