Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real (rho: D subset R^3 R). Tal densidade é dada matematicamente por:
rho(r)=rho0-rho0 e^-rR para r
No qual r é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, r é o seu módulo, R é o raio da esfera e rho0 é uma constante.
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma esfera com uma densidade de carga dada por para , onde é o raio da esfera. Queremos encontrar a equação do potencial elétrico tanto dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V(r) = 14piepsilon0 integral rho(r')|r - r'| dV' em um ponto é relacionado ao campo elétrico pela relação . Mas, para facilitar, vamos usar a expressão do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga, que é:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é a densidade de carga no ponto , e a integração é feita sobre todo o volume da carga.

Passo 3

Como a densidade de carga depende apenas da distância ao centro , e a esfera é simétrica, podemos simplificar a integral usando coordenadas esféricas. Além disso, para pontos fora da esfera ( ), podemos tratar a esfera como uma carga pontual com carga total , graças à simetria esférica.

Passo 4

Vamos calcular a carga total Q = integral rho(r') dV' = integral0^R (rho0 - rho0 e^-r'R) 4pi r'^2 dr' dentro da esfera:
Q = 4pi rho0 integral0^R (1 - e^-r'R) r'^2 dr'
Integrando termo a termo:

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^R r'^2 dr' = R^33
integral0^R r'^2 e^-r'R dr' = R^3 (2 - e^-RR(2 + 2RR + R^2R^2)) = R^3 (2 - e^-1(2 + 2 + 1)) = R^3 (2 - 5e^-1)
Portanto,
Q = 4pi rho0 (R^33 - R^3 (2 - 5e^-1)) = 4pi rho0 R^3 (13 - 2 + 5e^-1)

Passo 6

Simplificando:
Q = 4pi rho0 R^3 (-53 + 5e^-1)
Então a carga total Q = 4pi rho0 R^33 ( -5 + 15 e^-1 ) é:

Passo 7

Agora, para V(r) = 14piepsilon0 Qr , o potencial elétrico é o de uma carga pontual:
V(r) = 14piepsilon0 4pi rho0 R^33 (-5 + 15 e^-1)r = rho0 R^3 (-5 + 15 e^-1)3 epsilon0 r
Substituindo :

Passo 8

Para E(r) = 14piepsilon0 Qinterno(r)r^2 , precisamos calcular o potencial devido à distribuição de carga interna. Usando a simetria esférica, o campo elétrico dentro é:
Qinterno(r) = integral0^r (rho0 - rho0 e^-r'R) 4pi r'^2 dr'
Onde é a carga dentro de um raio :

Passo 9

Calculando Qinterno(r) = 4pi rho0 (r^33 - R^3 (2 - e^-rR (2 + 2rR + r^2R^2))) :
V(r) = 14piepsilon0 ( Qinterno(r)r + constante )
Simplificando e integrando:
Após integrar e ajustar as constantes, obtemos a expressão do potencial dentro da esfera.

Resposta

Dentro da esfera ( V(r) = rho0 R^33 epsilon0 ( -5 + 15 e^-1 ) ( 3r ) ):
V(r) = rho0 R^3 (-5 + 15 e^-1)3 epsilon0 r
Fora da esfera ( ):

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