Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real . Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma esfera com uma densidade de carga dada por para , onde é o raio da esfera. Queremos encontrar a equação do potencial elétrico tanto dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em um ponto é relacionado ao campo elétrico pela relação . Mas, para facilitar, vamos usar a expressão do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga, que é:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é a densidade de carga no ponto , e a integração é feita sobre todo o volume da carga.

Passo 3

Como a densidade de carga depende apenas da distância ao centro , e a esfera é simétrica, podemos simplificar a integral usando coordenadas esféricas. Além disso, para pontos fora da esfera ( ), podemos tratar a esfera como uma carga pontual com carga total , graças à simetria esférica.

Passo 4

Vamos calcular a carga total dentro da esfera:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Calculando a integral:
Portanto,

Passo 6

Simplificando:
Então a carga total é:

Passo 7

Agora, para , o potencial elétrico é o de uma carga pontual:
Substituindo :

Passo 8

Para , precisamos calcular o potencial devido à distribuição de carga interna. Usando a simetria esférica, o campo elétrico dentro é:
Onde é a carga dentro de um raio :

Passo 9

Calculando :
Simplificando e integrando:
Após integrar e ajustar as constantes, obtemos a expressão do potencial dentro da esfera.

Resposta

Dentro da esfera ( ):
Fora da esfera ( ):

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No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.