Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real
. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera com uma densidade de carga específica, ou seja, como a carga está distribuída dentro dela. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que o gera. Para resolver, precisamos entender a densidade de carga dada e aplicar a Lei de Gauss tanto dentro quanto fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de carga fornecida:
Aqui,
é uma constante,
é o raio da esfera,
é a distância do centro da esfera até o ponto onde estamos calculando a densidade, e
é o vetor posição.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
Onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área da superfície fechada,
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera (
). Para isso, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio
dentro da esfera.
A carga total encapsulada dentro desta superfície é:
Substituindo
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Calculando a integral:
Separando as integrais:
A primeira integral é simples:
A segunda integral requer integração por partes ou o uso de uma tabela de integrais:
Avaliando de 0 a
:
Passo 6
Substituindo de volta em
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Isolando
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos determinar o campo elétrico fora da esfera (
). Para isso, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio
maior que
.
A carga total encapsulada é a carga total da esfera:
Repetindo os passos anteriores, encontramos:
Simplificando:
Passo 9
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Isolando
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
Dentro da esfera (
), o campo elétrico é:
Fora da esfera (
), o campo elétrico é:
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Em relação aos modelos atômicos: Descreva os modelos de Dalton, de Thompson e de Rutherford para os átomos ressaltando a diferença entre eles.
Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real
. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]
Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real
. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
e-) Calcule o gradiente do potencial elétrico obtido no iten c-) e compare com o resultado obtido no item d-).
e-) Calcule o gradiente do potencial elétrico obtido no iten c-) e compare com o resultado obtido no item d-).
Que múltiplo da constante de tempo
é o tempo necessário para que um capacitor inicialmente descarregado seja carregado com
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