Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real . Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera com uma densidade de carga específica, ou seja, como a carga está distribuída dentro dela. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que o gera. Para resolver, precisamos entender a densidade de carga dada e aplicar a Lei de Gauss tanto dentro quanto fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de carga fornecida:
Aqui, é uma constante, é o raio da esfera, é a distância do centro da esfera até o ponto onde estamos calculando a densidade, e é o vetor posição.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
í
Onde é o campo elétrico, é o elemento de área da superfície fechada, é a carga total dentro dessa superfície, e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera ( ). Para isso, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio dentro da esfera.
A carga total encapsulada dentro desta superfície é:
Substituindo :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Calculando a integral:
Separando as integrais:
A primeira integral é simples:
A segunda integral requer integração por partes ou o uso de uma tabela de integrais:
Avaliando de 0 a :

Passo 6

Substituindo de volta em :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Isolando :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos determinar o campo elétrico fora da esfera ( ). Para isso, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio maior que .
A carga total encapsulada é a carga total da esfera:
Repetindo os passos anteriores, encontramos:
Simplificando:

Passo 9

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Isolando :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

Dentro da esfera ( ), o campo elétrico é:
Fora da esfera ( ), o campo elétrico é:

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Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real . Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
c-) Determine a equação do potencial elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]
Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real . Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
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