Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real (rho: D subset R^3 R). Tal densidade é dada matematicamente por:
rho(r)=rho0-rho0 e^-rR para r
No qual r é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, r é o seu módulo, R é o raio da esfera e rho0 é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera. [0,5 pt]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera com uma densidade de carga específica, ou seja, como a carga está distribuída dentro dela. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que o gera. Para resolver, precisamos entender a densidade de carga dada e aplicar a Lei de Gauss tanto dentro quanto fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de carga fornecida:
rho(r) = rho0 - rho0 e^-rR para r < R
Aqui, rho0 é uma constante, R é o raio da esfera, r é a distância do centro da esfera até o ponto onde estamos calculando a densidade, e r é o vetor posição.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
ointSuperfície E cdot dA = Qencvarepsilon0 í
Onde E é o campo elétrico, dA é o elemento de área da superfície fechada, Qenc é a carga total dentro dessa superfície, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera ( r < R). Para isso, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio r dentro da esfera.
A carga total encapsulada dentro desta superfície é:
Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Substituindo rho(r'):
Qenc = integral0^r ( rho0 - rho0 e^-r'R ) 4pi r'^2 dr'
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Calculando a integral:
Qenc = 4pi rho0 integral0^r ( r'^2 - r'^2 e^-r'R ) dr'
Separando as integrais:
Qenc = 4pi rho0 ( integral0^r r'^2 dr' - integral0^r r'^2 e^-r'R dr' )
A primeira integral é simples:
integral0^r r'^2 dr' = r^33
A segunda integral requer integração por partes ou o uso de uma tabela de integrais:
integral r'^2 e^-r'R dr' = -R r'^2 e^-r'R - 2R^2 r' e^-r'R - 2R^3 e^-r'R + C
Avaliando de 0 a r:
integral0^r r'^2 e^-r'R dr' = -R r^2 e^-rR - 2R^2 r e^-rR - 2R^3 e^-rR + 2R^3

Passo 6

Substituindo de volta em Qenc:
Qenc = 4pi rho0 ( r^33 + R r^2 e^-rR + 2R^2 r e^-rR + 2R^3 e^-rR - 2R^3 )
Simplificando:
Qenc = 4pi rho0 ( r^33 + R e^-rR (r^2 + 2R r + 2R^2) - 2R^3 )

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Isolando E(r):
E(r) = Qenc4pi varepsilon0 r^2
Substituindo Qenc:
E(r) = 4pi rho0 ( r^33 + R e^-rR (r^2 + 2R r + 2R^2) - 2R^3 )4pi varepsilon0 r^2
Simplificando:
E(r) = rho0varepsilon0 ( r3 + Rr^2 e^-rR (r^2 + 2R r + 2R^2) - 2R^3r^2 )

Passo 8

Agora, vamos determinar o campo elétrico fora da esfera ( r >= R). Para isso, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio r maior que R.
A carga total encapsulada é a carga total da esfera:
Qtotal = integral0^R rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Repetindo os passos anteriores, encontramos:
Qtotal = 4pi rho0 ( R^33 + R e^-1 (R^2 + 2R^2 + 2R^2) - 2R^3 )
Simplificando:
Qtotal = 4pi rho0 ( R^33 + 5R^3 e^-1 - 2R^3 )
Qtotal = 4pi rho0 R^3 ( 13 + 5 e^-1 - 2 )

Passo 9

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0
Isolando E(r):
E(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r^2
Substituindo Qtotal:
E(r) = 4pi rho0 R^3 ( 13 + 5 e^-1 - 2 )4pi varepsilon0 r^2
Simplificando:
E(r) = rho0 R^3 ( 13 + 5 e^-1 - 2 )varepsilon0 r^2

Resposta

Dentro da esfera ( r < R), o campo elétrico é:
E(r) = rho0varepsilon0 ( r3 + Rr^2 e^-rR (r^2 + 2R r + 2R^2) - 2R^3r^2 )
Fora da esfera ( r >= R), o campo elétrico é:
E(r) = rho0 R^3 ( 13 + 5 e^-1 - 2 )varepsilon0 r^2

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