Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
a) 2 x^2+2 y^2-6 x+10 y+7=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reduzir a equação à forma padrão e verificar se ela representa uma circunferência. Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre equações de segundo grau no plano cartesiano. Isso envolve completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2, para facilitar os cálculos:
x^2 + y^2 - 3x + 5y + 72 = 0

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 - 3x + y^2 + 5y = -72 e de :

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de (-32)^2 = 94 . Pegamos o coeficiente de x^2 - 3x + 94 - 94 + y^2 + 5y = -72 , que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x - 32)^2 - 94 + y^2 + 5y = -72
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso torna o trinômio um quadrado perfeito:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para os termos de (52)^2 = 254 . Pegamos o coeficiente de (x - 32)^2 - 94 + y^2 + 5y + 254 - 254 = -72 , que é 5, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x - 32)^2 - 94 + (y + 52)^2 - 254 = -72
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso também forma um quadrado perfeito:

Passo 6

Vamos agora somar os termos constantes do lado esquerdo e ajustar o lado direito:
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 - 94 - 254 = -72
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 - 344 = -72
Simplificando:
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 - 172 = -72

Passo 7

Vamos isolar os termos quadrados:
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 = 172 - 72
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 = 102
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 = 5

Resposta

A equação reduzida à forma padrão é:
(x - 32)^2 + (y + 52)^2 = 5
Isso representa uma circunferência com centro em e raio .

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