Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reduzir a equação à forma padrão e verificar se ela representa uma circunferência. Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre equações de segundo grau no plano cartesiano. Isso envolve completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2, para facilitar os cálculos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e de :

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de . Pegamos o coeficiente de , que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso torna o trinômio um quadrado perfeito:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para os termos de . Pegamos o coeficiente de , que é 5, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso também forma um quadrado perfeito:

Passo 6

Vamos agora somar os termos constantes do lado esquerdo e ajustar o lado direito:
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar os termos quadrados:

Resposta

A equação reduzida à forma padrão é:
Isso representa uma circunferência com centro em e raio .

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Seja . Se e , então munido com as operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre ?