Questão: Em um trecho de gasoduto, butano C4 H10 ( R=143 J /(k g K) e k=1,094 ) deve ser bombeado através de um tubo com diâmetro interno de 90 cm, que liga duas estações de compressão distantes 60 km uma da outra. Na estação de montante a pressão não deve exceder 720 kPa (abs), e na estação de jusante, o gás deve chegar a pelo menos 530 kPa (abs). Considere o fator de atrito para esse duto como 0,008 . Calcule a máxima vazão em volume permitida no gasoduto (em m^3 / dia, a 20^circ C e 100 kPa ), considerando a troca de calor pela parede do tubo suficiente para manter o gás a temperatura constante, igual a 20^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gasoduto que transporta butano C4H10 de uma estação de compressão para outra, com certas restrições de pressão e dimensões do tubo. Nosso objetivo aqui é calcular a máxima vazão em volume permitida no gasoduto, ou seja, quanto de butano pode passar por esse tubo por dia, mantendo as condições de temperatura constante a 20^circC.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a perda de carga em tubos, e usar algumas fórmulas específicas que relacionam a pressão, diâmetro do tubo, comprimento, viscosidade do gás, entre outros fatores. Vamos passo a passo para facilitar a compreensão!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Diâmetro interno do tubo: D = 90 cm = 0,90 m
  • Comprimento do tubo: L = 60 km = 60.000 m
  • Pressão na estação de montante (início): P1 = 720 kPa
  • Pressão na estação de jusante (fim): P2 = 530 kPa
  • Fator de atrito: f = 0,008
  • Constante dos gases: R = 143 J/(kg cdot K)
  • Exponente adiabático: k = 1,094
  • Temperatura constante: T = 20^circC = 293 K
Além disso, queremos a vazão em condições normais: 20^circC e 100 kPa.

Passo 3

Para calcular a vazão máxima, vamos usar a fórmula da perda de carga em tubulações para gases sob fluxo laminar ou turbulento. A fórmula geral que relaciona a perda de carga (diferença de pressão) com a vazão é dada por:
De
Onde:
  • De é a diferença de pressão entre as estações ( P1 - P2)
  • f é o fator de atrito
  • L é o comprimento do tubo
  • D é o diâmetro interno do tubo
  • rho é a densidade do gás
  • v é a velocidade do gás no tubo
Precisamos encontrar a vazão volumétrica Q, que está relacionada com a velocidade v pela fórmula:
Q = v cdot A
Onde A é a área da seção transversal do tubo:
A = pi D^24
Então, nossa estratégia será:
  1. Expressar a velocidade v em termos da vazão Q.
  2. Relacionar a diferença de pressão De com a vazão Q usando a primeira equação.
  3. Resolver para Q.

Passo 4

Vamos calcular a diferença de pressão De:
De
Agora, vamos expressar a densidade rho do butano. Para isso, usamos a fórmula dos gases ideais:
rho = PR cdot T
Mas precisamos ter cuidado com as unidades. Vamos usar as condições da estação de jusante para calcular a densidade, já que é onde o gás chega com pressão P2.
rho = P2R cdot T = 530.000 Pa143 J/(kg cdot K) cdot 293 K approx 12,6 kg/m^3

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo:
A = pi D^24 = pi (0,90 m)^24 approx 0,636 m^2
Expressando a velocidade v em termos da vazão Q:
v = QA
Agora, substituímos v na equação da perda de carga:
De
Rearranjando para resolver para Q:
Q = A cdot raiz 2 De

Passo 6

Vamos substituir os valores que temos na fórmula para calcular Q:
Q = 0,636 m^2 cdot raiz 2 times 190.000 Pa times 0,90 m0,008 times 60.000 m times 12,6 kg/m^3
Primeiro, calculamos o termo dentro da raiz:
2 times 190.000 times 0,900,008 times 60.000 times 12,6 = 342.0006.048 approx 56,58
Agora, tiramos a raiz quadrada:
raiz56,58 approx 7,52 m/s
Finalmente, calculamos Q:
Q = 0,636 m^2 times 7,52 m/s approx 4,78 m^3/s

Passo 7

Agora, precisamos converter a vazão de m^3/s para m^3/dia. Sabemos que:
1 m^3/s = 86.400 m^3/dia
Então:
Q = 4,78 m^3/s times 86.400 s/dia approx 413.632 m^3/dia

Resposta

A máxima vazão em volume permitida no gasoduto é de aproximadamente 413.632 m^3/dia a 20^circ C e 100 kPa.

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