QUESTÃO Prove por indução que é possível enviar qualquer carta que custe mais que 7 centavos usando selos de 3 e de 5 centavos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar, por indução, que é possível enviar qualquer carta que custe mais de 7 centavos utilizando selos de 3 e 5 centavos. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica fundamental em Matemática para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa enviar uma carta que custa mais de 7 centavos com selos de 3 e 5 centavos. Basicamente, queremos mostrar que qualquer valor inteiro maior que 7 pode ser obtido somando múltiplos de 3 e 5. Por exemplo, 8 centavos podem ser enviados com um selo de 3 centavos e um de 5 centavos.
Passo 3
Vamos começar verificando a base da indução. Precisamos mostrar que a afirmação é verdadeira para o menor valor que queremos considerar, que neste caso é 8 centavos.
Para 8 centavos:
Isso mostra que é possível enviar uma carta de 8 centavos usando um selo de 3 e um de 5 centavos.
Passo 4
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum valor
. Ou seja, supomos que é possível enviar uma carta que custa
centavos usando selos de 3 e 5 centavos.
Passo 5
Com essa suposição, queremos provar que a afirmação também é verdadeira para
. Para isso, observamos que:
Segundo a hipótese de indução, sabemos que
é maior ou igual a 8 (já que
), então é possível enviar uma carta que custa
centavos usando selos de 3 e 5 centavos. Adicionando um selo de 3 centavos a essa combinação, obtemos
centavos.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que é possível enviar qualquer carta que custe mais de 7 centavos usando selos de 3 e 5 centavos.