Questão: O polinômio p(x) = x^2 - k x - 1 em Z[x] possui uma raiz alpha in Z. Determine k e as raízes (inteiras) de p(x).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio , e sabe que ele tem uma raiz inteira, ou seja, um número inteiro que, quando substituído por , faz o polinômio dar zero. Nosso objetivo é descobrir o valor de e encontrar essas raízes inteiras. Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de polinômios e propriedades das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se é uma raiz do polinômio , então substituindo por na expressão do polinômio, a gente tem:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, como é inteiro, precisamos encontrar valores de que satisfaçam essa equação. Observando a equação , a gente percebe que deve ser um divisor de 1 para que o lado direito seja inteiro. Os divisores de 1 são e .
Passo 4
Vamos testar cada um desses valores de para encontrar .
Para :
Para :
Passo 5
Vimos que, tanto para quanto para , o valor de é 0. Então, .
Agora, com , o polinômio fica:
Esse polinômio pode ser fatorado como:
Resposta
O valor de é 0 e as raízes inteiras do polinômio são e .