Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de ( 2,5 pontos).
b) Após quanto tempo a quantidade de sal no interior do tanque será de 200 kg ? (2,5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. A gente tem um tanque que inicialmente tem 1000 kg de uma solução salina com 10% de sal. A solução entra no tanque a uma taxa de 20 kg por minuto com 20% de sal e sai a 10 kg por minuto. Queremos saber quanto tempo leva para que a quantidade de sal no tanque chegue a 200 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 10% de sal em 1000 kg de solução. Isso significa que inicialmente temos:
Então, começamos com 100 kg de sal no tanque.

Passo 3

Agora, vamos ver como o sal entra e sai do tanque. A solução que entra tem 20% de sal, então a taxa de entrada de sal é:
A solução que sai leva sal dependendo da concentração atual no tanque.

Passo 4

Para a saída, precisamos saber a concentração de sal no tanque em qualquer instante . A massa total da solução no tanque aumenta, porque entra mais do que sai:
A concentração de sal no tanque é então , onde é a massa de sal no tempo .

Passo 5

A taxa de saída de sal é a multiplicação da taxa de saída de solução pela concentração de sal:
í

Passo 6

Agora, montamos a equação diferencial que descreve como a quantidade de sal muda ao longo do tempo:
í
Essa equação nos diz como varia com o tempo.

Passo 7

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar um fator integrante. Primeiro, rearranjamos a equação:
O fator integrante é . Calculando a integral:
Então, o fator integrante é .

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Para achar , usamos a condição inicial kg:
Então, a equação fica:

Passo 10

Vamos resolver para :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 10:

Passo 11

Queremos saber quando kg. Então, igualamos a equação a 200:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Dividindo tudo por 2:

Passo 12

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
A raiz positiva é a que interessa:

Resposta

Após aproximadamente 36,6 minutos, a quantidade de sal no tanque será de 200 kg.

Exercícios relacionados

Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de ( 2,5 pontos).
a) Calcule a quantidade de sal existente no tanque em qualquer instante
Responda:
(a) O que é descrição Lagrangeana?
(b) O que é descrição Euleriana?
© Qual a definição de linha de corrente?
(d) Qual a definição de tubo de corrente?
Um tubo de aço com 5 cm de diâmetro interno e 7,6 cm de diâmetro externo, tendo , está recoberto por uma camada isolante de espessura e . Um gás, aquecido a , flui no interior do tubo. A superfície externa do isolante está exposta ao ar mais frio a com .
  • Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de L=10m do tubo.
  • Calcule as quedas de temperatura resultantes das resistências térmicas do fluxo de gás quente, do tubo de aço, da camada isolante e do ar externo.
Um tubo de aço com 5 cm de diâmetro interno e de diâmetro externo, tendo , está recoberto por uma camada isolante de espessura e . Um gás, aquecido a , , flui no interior do tubo. A superfície externa do isolante está exposta ao ar mais frio a com .
Visando maximizar a troca de calor com o ambiente para promover o resfriamento do gás que circula no interior do tubo, as seguintes soluções foram propostas:
  • - Aumentar a espessura de isolamento para 5cm;
  • - Reduzir a espessura de isolamento para 3cm;
  • - Retirar o isolamento;
  • - Manter o isolamento como está.
    Considerando o comprimento do tubo igual a 10 m avalie as propostas.
    Refazer este exercício considerando e