1^0 Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo 10 % de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de 20 kg / min com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de 10 kg / min ( 2,5 pontos).
b) Após quanto tempo a quantidade de sal no interior do tanque será de 200 kg ? (2,5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. A gente tem um tanque que inicialmente tem 1000 kg de uma solução salina com 10% de sal. A solução entra no tanque a uma taxa de 20 kg por minuto com 20% de sal e sai a 10 kg por minuto. Queremos saber quanto tempo leva para que a quantidade de sal no tanque chegue a 200 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 10% de sal em 1000 kg de solução. Isso significa que inicialmente temos:
Sal inicial = 1000 , kg times 0,10 = 100 , kg
Então, começamos com 100 kg de sal no tanque.

Passo 3

Agora, vamos ver como o sal entra e sai do tanque. A solução que entra tem 20% de sal, então a taxa de entrada de sal é:
Taxa de entrada = 20 , kg/min times 0,20 = 4 , kg/min
A solução que sai leva sal dependendo da concentração atual no tanque.

Passo 4

Para a saída, precisamos saber a concentração de sal no tanque em qualquer instante Massa no tanque = 1000 , kg + (20 , kg/min - 10 , kg/min) times t = 1000 + 10t , kg . A massa total da solução no tanque aumenta, porque entra mais do que sai:
A concentração de sal no tanque é então , onde é a massa de sal no tempo .

Passo 5

A taxa de saída de sal é a multiplicação da taxa de saída de solução pela concentração de sal:
Taxa de saída = 10 , kg/min times M(t)1000 + 10t = 10M(t)1000 + 10t , kg/min í

Passo 6

Agora, montamos a equação diferencial que descreve como a quantidade de sal muda ao longo do tempo:
dMdt = Taxa de entrada - Taxa de saída = 4 - 10M(t)1000 + 10t í
Essa equação nos diz como varia com o tempo.

Passo 7

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar um fator integrante. Primeiro, rearranjamos a equação:
dMdt + 10M1000 + 10t = 4
O fator integrante é integral 101000 + 10t dt = ln(1000 + 10t) . Calculando a integral:
Então, o fator integrante é .

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
(1000 + 10t)dMdt + 10M = 4(1000 + 10t)
Isso simplifica para:
ddt[(1000 + 10t)M] = 4000 + 40t
Agora, integramos ambos os lados em relação a (1000 + 10t)M = integral (4000 + 40t) dt = 4000t + 20t^2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Para achar (1000 + 0) times 100 = 4000 times 0 + 20 times 0 + C Rightarrow C = 100000 , usamos a condição inicial (1000 + 10t)M = 4000t + 20t^2 + 100000 kg:
Então, a equação fica:

Passo 10

Vamos resolver para M(t) = 4000t + 20t^2 + 1000001000 + 10t = 20t^2 + 4000t + 10000010t + 1000 :
M(t) = 2t^2 + 400t + 10000t + 100
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 10:

Passo 11

Queremos saber quando 2t^2 + 400t + 10000t + 100 = 200 kg. Então, igualamos a equação a 200:
2t^2 + 400t + 10000 = 200t + 20000
Multiplicando ambos os lados por 2t^2 + 200t - 10000 = 0 :
t^2 + 100t - 5000 = 0
Rearranjando:
Dividindo tudo por 2:

Passo 12

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde t = -100 pm raiz10000 + 200002 = -100 pm raiz300002 , t = -100 + raiz300002 approx -100 + 173,212 approx 73,212 approx 36,6 , min , e :
A raiz positiva é a que interessa:

Resposta

Após aproximadamente 36,6 minutos, a quantidade de sal no tanque será de 200 kg.

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