Questäo: Um tanque, inicialmente contendo 1000 kg de uma solução salina contendo
de sal/massa, é abastecido a uma vazāo volumétrica de
com uma soluçāo salina contendo 20% sal/massa. A solução resultante é mantida uniforme por agitaçăo e escoa para fora do tanque a uma vazāo volumétrica de
( 2,5 pontos).
b) Após quanto tempo a quantidade de sal no interior do tanque será de 200 kg ? (2,5 pontos).
b) Após quanto tempo a quantidade de sal no interior do tanque será de 200 kg ? (2,5 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. A gente tem um tanque que inicialmente tem 1000 kg de uma solução salina com 10% de sal. A solução entra no tanque a uma taxa de 20 kg por minuto com 20% de sal e sai a 10 kg por minuto. Queremos saber quanto tempo leva para que a quantidade de sal no tanque chegue a 200 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter 10% de sal em 1000 kg de solução. Isso significa que inicialmente temos:
Então, começamos com 100 kg de sal no tanque.
Passo 3
Agora, vamos ver como o sal entra e sai do tanque. A solução que entra tem 20% de sal, então a taxa de entrada de sal é:
A solução que sai leva sal dependendo da concentração atual no tanque.
Passo 4
Para a saída, precisamos saber a concentração de sal no tanque em qualquer instante
. A massa total da solução no tanque aumenta, porque entra mais do que sai:
A concentração de sal no tanque é então
, onde
é a massa de sal no tempo
.
Passo 5
A taxa de saída de sal é a multiplicação da taxa de saída de solução pela concentração de sal:
Passo 6
Agora, montamos a equação diferencial que descreve como a quantidade de sal muda ao longo do tempo:
Essa equação nos diz como
varia com o tempo.
Passo 7
Para resolver essa equação diferencial, vamos usar um fator integrante. Primeiro, rearranjamos a equação:
O fator integrante é
. Calculando a integral:
Então, o fator integrante é
.
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Para achar
, usamos a condição inicial
kg:
Então, a equação fica:
Passo 10
Vamos resolver para
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 10:
Passo 11
Queremos saber quando
kg. Então, igualamos a equação a 200:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Dividindo tudo por 2:
Passo 12
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
A raiz positiva é a que interessa:
Resposta
Após aproximadamente 36,6 minutos, a quantidade de sal no tanque será de 200 kg.