5^ a Questão - [Vale 2,0 pontos] Escreva o vetor (4,-1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o outro é perpendicular ao vetor (2,-1). Boa prova!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa escrever o vetor como a soma de dois vetores: um que seja paralelo ao vetor e outro que seja perpendicular a ele. Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial, especificamente projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente quer decompôr um vetor em componentes paralelas e perpendiculares a outro vetor, usamos a projeção. A projeção de um vetor Projb a = ( a cdot b|b|^2 ) b sobre um vetor é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e é o módulo do vetor .

Passo 3

Vamos identificar os vetores:
a = (4, -1) e b = (2, -1)
Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b = 4 times 2 + (-1) times (-1) = 8 + 1 = 9 :

Passo 4

Agora, calculamos o módulo de |b| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 :
Portanto, .

Passo 5

Aplicando a fórmula da projeção:
Projb a = ( 95 ) b = ( 95 ) (2, -1) = ( 185, -95 )
Esse é o vetor paralelo a .

Passo 6

Agora, para encontrar o vetor perpendicular, a gente subtrai a projeção de aperp = a - Projb a = (4, -1) - ( 185, -95 ) de aperp = (4 - 185, -1 - (-95) ) = ( 205 - 185, -55 + 95 ) = ( 25, 45 ) mesmo:
Vamos fazer a subtração componente a componente:

Resposta

Então, o vetor ( 185, -95 ) (para<=lo a (2, -1) ) pode ser escrito como a soma dos vetores:
( 25, 45 ) (perpendicular a (2, -1) )
e

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