Questão - [Vale 2,0 pontos] Escreva o vetor
como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o outro é perpendicular ao vetor
. Boa prova!
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente precisa escrever o vetor
como a soma de dois vetores: um que seja paralelo ao vetor
e outro que seja perpendicular a ele. Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial, especificamente projeções de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente quer decompôr um vetor em componentes paralelas e perpendiculares a outro vetor, usamos a projeção. A projeção de um vetor
sobre um vetor
é dada pela fórmula:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores e
é o módulo do vetor
.
Passo 3
Vamos identificar os vetores:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo de
:
Portanto,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da projeção:
Esse é o vetor paralelo a
.
Passo 6
Agora, para encontrar o vetor perpendicular, a gente subtrai a projeção de
de
mesmo:
Vamos fazer a subtração componente a componente:
Resposta
Então, o vetor
pode ser escrito como a soma dos vetores:
e