Suponha que o polinômio característico de alguma matriz
seja
. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio. (a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um polinômio característico
de uma matriz
. O que queremos descobrir aqui é sobre as dimensões dos autoespaços (ou espaços próprios) dessa matriz
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e suas multiplicidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico nos dá informações sobre os autovalores da matriz. Cada fator
indica que
é um autovalor com multiplicidade algébrica
. No nosso caso:
-
tem multiplicidade algébrica 2. -
tem multiplicidade algébrica 2. -
tem multiplicidade algébrica 4.
Passo 3
Agora, precisamos falar sobre a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do autoespaço associado a cada autovalor. A multiplicidade geométrica de um autovalor é sempre pelo menos 1 e no máximo igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja, para cada autovalor
:
Passo 4
Aplicando isso aos nossos autovalores:
- Para
: - Para
: - Para
:
Isso significa que cada autoespaço pode ter uma dimensão que varia dentro desses intervalos, dependendo das propriedades específicas da matriz
.
Resposta
Cada autoespaço de
tem dimensão pelo menos 1 e no máximo igual à multiplicidade algélica do respectivo autovalor. Ou seja:
- Para
: - Para
: - Para
: