Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p(lambda)=(lambda-1)^2(lambda-2)^2(lambda-3)^4. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio. (a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços de A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um polinômio característico de uma matriz . O que queremos descobrir aqui é sobre as dimensões dos autoespaços (ou espaços próprios) dessa matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e suas multiplicidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico nos dá informações sobre os autovalores da matriz. Cada fator indica que é um autovalor com multiplicidade algébrica . No nosso caso:
  • tem multiplicidade algébrica 2.
  • tem multiplicidade algébrica 2.
  • tem multiplicidade algébrica 4.

Passo 3

Agora, precisamos falar sobre a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do autoespaço associado a cada autovalor. A multiplicidade geométrica de um autovalor é sempre pelo menos 1 e no máximo igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja, para cada autovalor 1 <= Dimensão do autoespaço de lambda <= Mu:
ãçé

Passo 4

Aplicando isso aos nossos autovalores:
  • Para 1 <= Dimensão do autoespaço <= 2 : 1 <= Dimensão do autoespaço <= 2 ãç
  • Para 1 <= Dimensão do autoespaço <= 4 : ãç
  • Para : ãç
Isso significa que cada autoespaço pode ter uma dimensão que varia dentro desses intervalos, dependendo das propriedades específicas da matriz .

Resposta

Cada autoespaço de tem dimensão pelo menos 1 e no máximo igual à multiplicidade algélica do respectivo autovalor. Ou seja:
  • Para : ã
  • Para : ã
  • Para : ã

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